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la neurofenomenologia. esperienza, percezione, cognizione

Fondamenti cognitivi della matematica e analisi matematiche del vivente

Giuseppe Longo
p. 113-124

Testo integrale

Si ringraziano Luigi Zuccaro e Andrea Tortoreto per la cura del testo.

  • 1 Si fa riferimento a Longo 2006.

1Nel presente testo cercherò principalmente di esplicitare la correlazione tra le mie ricerche, così come ho cercato di riassumerle nel testo su La ragionevole efficacia della matematica1, e l’impostazione vareliana nei confronti delle scienze cognitive. Nel tentativo di far questo, intendo prendere spunto da un aneddoto che, a dire il vero, pare sia effettivamente accaduto. Si racconta che, intorno ai sette o otto anni, il piccolo Gauss si trovò di fronte un maestro severissimo che, come punizione, obbligò la sua classe a fare la somma di più di cento numeri. Il geniale, futuro princeps mathematicorum, dopo pochi minuti si presentò con la soluzione. Il maestro rimase senza parole, convinto di essere rimasto vittima di un imbroglio e sollecitò il piccolo a fornire delle spiegazioni. Gauss, a quel punto, presentò una ingegnosa dimostrazione, del tutto generale, di come sia possibile fare la somma dei primi n numeri; ordinò su di una riga i numeri da uno a n e, nella riga inferiore, pose i numeri in ordine inverso rovesciati per simmetria di riflessione. Eseguì poi la somma sulle colonne il cui risultato è n+1 ricopiandola, ovviamente, n volte. La formula generale che Gauss ne trasse, e che presentò allo sbalordito maestro placando la sua furia, è quindi n(n+1)/2, dove la divisione per 2 è in virtù del fatto che i numeri erano stati messi due volte.

2Ciò che mi preme a questo punto sottolineare, muovendo dalla prova, appena ricordata, di un teorema semplice dell’aritmetica, riguarda i fondamenti della matematica e il modo di intendere gli stessi. L’ascesa delle geometrie non euclidee va di pari passo con il problema del crollo del mito della generalità dello spazio sensibile o, per meglio dire, dell’identificazione dello spazio sensibile con lo spazio fisico, identificazione che costituiva il nucleo fondante delle geometrie euclidee; lo spazio che ci circonda, nel quale si dimostrano le proprietà delle figure per rotazioni e traslazioni con riga e compasso, è, in una prospettiva euclidea, portatore di proprietà che sono le stesse per le stelle o per gli atomi di Democrito. Questo, tecnicamente, è dovuto al fatto che, in termini tecnici, il gruppo degli automorfismi della geometria euclidea è l’unico gruppo che contiene le omotetie (ingrandimenti ed rimpicciolimenti a piacere). In questa visione era quindi possibile identificare questo spazio, nel quale per intenderci agiamo con riga e compasso, con lo spazio fisico in assoluto. L’annullamento di questa identificazione, posta in dubbio dal sorgere delle geometrie non euclidee con tutto il corollario di enormi conseguenze che la geometria riemanniana avrà sulla fisica, otterrà come risposta la riconduzione dei fondamenti della geometria all’aritmetica, assunta come modello assoluto da Boole e, soprattutto, da Frege. In particolare l’induzione aritmetica si propone come strumento principe, in quanto principio eminentemente logico. È infatti innegabile che, data la formula proposta da Gauss, se ne può fornire una facile dimostrazione per induzione che diviene in tal senso il fondamento della formula stessa (o della sua prova).

3Inoltrandosi però in questo sentiero, si corre il rischio di fuorviare radicalmente il problema connesso a una più profonda analisi fondazionale della matematica. Si dà infatti credito al mito secondo il quale dimostrare teoremi matematici equivale a dimostrare formule già date. È pur vero che, alle volte, è accaduto che una congettura vecchia di centinaia di anni sia stata dimostrata e si sia rivelata una formula già data, ma è maggiormente vero che il compito del matematico sia quello di rispondere, in primo luogo, a domande di correlazione di strutture, oltre a inventarle. In tale lavoro, tra l’altro, si arriva talvolta a una formula la quale però molto raramente è già data. E Gauss non ce l’aveva come, generalmente, non ce l’ha il matematico. In breve, l’induzione fonda la prova di una formula già data, ma non la prova nella sua generalità, a priori, quando questa presuppone la costruzione di strutture (anche di prova) non ovvie.

4L’analisi della prova deve quindi seguire altri percorsi, l’indagine formale in termini induttivi, pur essendo importantissima e riconoscendo i risultati che ha fornito, non è sufficiente, risulta dimostrabilmente incompleta rispetto a principi di costruzione di tipo cognitivo. Tornando all’aneddoto poc’anzi ricordato, paiono chiari i principi di costruzione utilizzati da Gauss. In primo luogo l’ordine: egli ha visto i numeri ordinati in uno spazio mentale e, in secondo luogo, ha avuto la geniale audacia di rovesciarli per mezzo una simmetria di riflessione. È questo il nucleo costruttivo della prova, la formula costituisce soltanto l’elementare conseguenza, la conclusione le cui basi son state già mirabilmente poste.

5Gauss ha quindi usato due principi di costruzione, ordine e simmetria, che non sono esclusivamente principi matematici ma costituiscono, in generale, i pilastri della nostra relazione conoscitiva con il mondo. Noi riusciamo a capire il mondo perché siamo in grado di ordinarlo e perché vi leggiamo e vi imponiamo delle simmetrie. Appare quindi chiaro che, questi due principi, costituiscono anche alcuni dei principi di costruzione che accomunano la fisica e la matematica e che, di conseguenza, giustificano la ragionevolissima efficacia della matematica. Emblematica, in questo senso, la questione delle simmetrie e delle geodetiche a esse correlate; muovendo dal punto di vista che queste dischiudono, è possibile leggere in termini “geodetici” gli assiomi di Euclide. Esaminando, ad esempio, il primo postulato euclideo, «dati due punti, traccia un segmento che li unisce», si nota chiaramente come sia in primo luogo una “costruzione”. Raffrontandolo con la formulazione hilbertiana, secondo la quale dati due punti esiste uno e un solo segmento, è facile coglierne la profonda differenza. Inoltre, dire che, dati due punti, posso tracciare una e una sola retta, equivale a sottolineare uno stato di massima simmetria; ogni altro tracciato tra quei due punti rompe la simmetria, è una geodetica. Questo tipo di considerazioni possono essere estese a tutti gli assiomi e, in particolare, al quinto che descrive la situazione che genera più simmetrie; ogni sua ulteriore formulazione, su di un piano prettamente euclideo, conduce alla rottura di simmetrie. Considerando quindi gli assiomi di Euclide, questi possono essere intesi correttamente dal punto di vista dei principi della costruzione e dell’intelligibilità; costituiscono azioni e costruzioni dello spazio, con riga e compasso e le prove le estendono per simmetrie, riflessioni e traslazioni. Ciò può essere esteso dalla la fisica galileiana alla… fisica quantistica; la fisica moderna si basa infatti su dei principi di invarianza della quantità conservata che sono, in ultima istanza, principi di simmetria. È sufficiente ricordare, in proposito, alcuni fondamentali teoremi di Nöther, risalenti agli anni Venti e formulati in ambito relativista, che dimostrano come la conservazione dell’energia sia una simmetria di traslazione temporale. Questo tipo di simmetrie, che sono simmetrie delle equazioni che determinano strutture fisiche e che sono anche il cuore della fisica quantistica, si basano l’invarianza dei fenomeni di conservazione (principio di Hamilton o di minima azione; in meccanica quantistica si applica in spazi astratti, di Hilbert, non nello spazio-tempo relativistico: l’equazione di Schrödinger ne deriva).

  • 2 cfr. Longo 2002. Per un inquadramento più generale, si veda Bailly e Longo 2006 (l’introduzione e l (...)

6Quindi, come si è in parte accennato, ci sono dei fondamentali principi di costruzione che costituiscono il cuore cognitivo tanto della fisica che, e questo costituisce il nucleo del nostro discorso, della matematica. Ciò che cambia sono, evidentemente, i principi di prova; se la fisica ricorre all’empiria, con tutte le mediazioni che questa necessita, la matematica si è impegnata nel complesso tentativo di costruire una teoria della prova. I limiti di questa teoria, alla quale ho lavorato personalmente a lungo, fra logica e informatica, sono intrinseci a quella svolta linguistica, formale e logica che si è andata specificando a partire da Frege e Hilbert, proprio in relazione alla crisi dell’assolutizzazione dello spazio sensibile. Ne sono derivati quei fenomeni di incompletezza che possono essere adeguatamente compresi solo se posti in relazione al principio di costruzione appena delineato. A mio avviso, il primo grande risultato di incompletezza è la costruzione operata dal matematico greco il quale, costruito un quadrato e tracciata la diagonale dello stesso, ha notato con grande sorpresa come la lunghezza di quest’ultima non possa essere calcolata tramite un’equazione lineare a coefficienti interi. In altri termini, con una costruzione euclidea realizzata con riga e compasso, rotazione e traslazione ottengo una lunghezza che non è calcolabile tramite la misura dei rapporti interi, ovvero la teoria con la quale i greci credevano di poter calcolare ogni cosa. In termini moderni, si può affermare che la teoria delle equazioni lineari a coefficienti interi, con i suoi principi di prova, ovvero di calcolo, risulta incompleta rispetto alla costruzione geometrica (non si può esprimere la diagonale come un rapporto di interi). L’incompletezza è, in sostanza, una frattura, una crepa, una distanza che viene a costituirsi tra dei principi di costruzione concettuali, di strutture fisico-matematiche, con, per cominciare, riga e compasso, rotazioni e traslazioni (simmetrie) e l’approccio algebrico-formale, dato da equazioni e con regole meramente calcolatorie. In questo senso, considerando cioè il problema dell’incompletezza anche dal punto di vista dell’aritmetica, il (grandissimo) teorema di incompletezza di Gödel non dice nulla, poiché è “solo” un teorema di indecidibilità; ovvero, dà “solo” un enunciato indecidibile dell’aritmetica formale e null’altro. I successivi teoremi, formulati negli ultimi venti anni, hanno affrontato con successo la questione, chiarendone, come ho cercato recentemente di mostrare2, numerosi aspetti.

7L’incompletezza è dunque un divario che si presenta tra dei principi di costruzione e una corrispondente teoria formale. Ed è proprio muovendo dall’ottica proposta dall’incompletezza che la matematica può essere indagata in una prospettiva fondazionale, secondo quella che è oggi una imprescindibile esigenza, lontano cioè dai miti della completezza dei calcoli dei segni senza significato (senza cognizione umana, in breve, o, come dicevano i padri fondatori: “potenzialmente meccanizzabili”). Agli inizi del xx secolo l’esigenza principale dei matematici è quella di delineare un quadro formale rigoroso, perfettamente formale appunto. Nonostante la sua ricchezza infatti, la matematica dell’ottocento, ed è sufficiente pensare a Cauchy che non sa ben definire l’uniforme continuità, non era stata in grado di proporre un’adeguata nozione neppure di ciò che si deve intendere per buona definizione. È per questo che gli stessi Weyl e Poincaré, non condividendo l’impostazione di Frege, e ancor meno quella di Hilbert, sono stati costretti a occuparsi di tutti i problemi connessi alle definizione rigorose e, nello specifico, a quelle impredicative. Oggi però, pare evidente, questo tipo di preoccupazioni sono scomparse, l’indagine fondazionale è chiamata a cambiar segno; la matematica funziona infatti benissimo, non necessita più di un’indagine volta a fornirle incrollabili certezze (evitare errori grossolani e paradossi piuttosto facili, roba da barbieri), proprio perché il livello di certezza del matematico è quello notevolissimo della più solida, stabile ed “invariante” delle costruzioni umane. Il problema che si pone è ben più radicale; è il problema del ricostruire i principi di costruzione comuni tanto alla matematica che alla fisica, il problema del radicamento comune, della reciproca origine in un profondo substrato di tipo cognitivo. In parte è quel che cerchiamo di fare nel libro con Bailly, in nota.

8È necessario, in relazione a questi problemi, aprire una rapidissima parentesi per accennare alle difficoltà che i principi matematico-fisici incontrano quando si cerca di estenderli al vivente. È questa, peraltro, una sfida apertissima che deve affrontare i problemi derivanti dalla constatazione che, nell’analisi del vivente, ci troviamo spesso davanti a situazioni in cui i principi geodetici, al cuore si diceva della fisica (e della matematica, perchè ancorati su simmetrie) non possono essere applicati; un esempio emblematico è quello della filogenesi dove non possono essere definiti percorsi ottimali (geodetiche), ma solo “generici”. Il vivente, in sostanza, sembra seguire una dualità, rispetto alla fisica; da un lato c’è la specificità dell’oggetto vivente singolo, e quindi la sua individuante variabilità, dall’altro i percorsi filogenetici e ontogenetici che sono “generici”, ovvero solo dei possibili, indifferenti (quando compatibili). Questo è l’opposto, una dualità, rispetto alla fisica, i cui oggetti sono generici (degli invarianti dell’esperienza e delle teorie), mentre i percorsi, le traiettorie, sono specifiche (delle geodetiche).

9Sulla scia di queste considerazioni si presenta la necessità, per la matematica, di adeguare le proprie concettualizzazioni alla biologia, al fine di giungere a un’adeguata e fruttuosa matematizzazione della stessa, semmai possibile.

10Tornando alla questione dei fondamenti della matematica, intendo approfondire il discorso notando come, per il percorso di ricerca che ho tentato di individuare, sia necessario muovere da analisi di azioni cognitive che, ad esempio, abbiamo in comune con gli animali. Si consideri, a titolo esemplificativo, la pratica, come vissuto, di una traiettoria, seguita con gli occhi, ricordata, immaginata. È questo un chiaro esempio di esperienza che condividiamo con gli altri animali che hanno una fovea. Questi sono infatti in grado di tracciare, con la propria fovea, la traiettoria dell’animale che inseguono, di precederla con lo sguardo e tracciare la propria traiettoria di inseguimento, secondo una curva matematica molto complessa. Questa esperienza “preumana” della traiettoria è già astratta, sebbene ancora non simbolica, in quanto l’animale è in grado di ricordare la traiettoria di inseguimento eliminando i fatti irrilevanti: procede alla costituzione dell’invariante astratta. La nozione di traiettoria è per noi intellegibile sulla base di questa arcaica esperienza: il gesto del maestro che traccia la curva, fino alla scrittura formale del professore che ne dà l’equazione, ha senso perché dietro abbiamo questa pratica comune, pre-umana, che rivede riassunto nel gesto un intero percorso evolutivo. L’invariante matematico ne è il risultato ed ha significato, è intelligibile grazie a tale percorso.

11È bene sottolineare, pena l’incorrere in fraintendimenti, che il concetto matematico non può essere ridotto alla vicenda evolutiva. A questo livello di considerazioni, va aggiunto il linguaggio, il disegno che rende stabile il concetto, la cultura simbolica, addirittura la scrittura formale, del professore si diceva, che concettualizza una pratica: quella dell’animale è una pratica dell’invariante, mentre noi possediamo anche il concetto dell’invariante, la sua chiarificazione linguistica e scritturale.

12Procedere verso un’analisi fondazionale della matematica e dei principi di costruzione fisica equivale, a mio avviso, a seguire tutto questo percorso proiettando, come direbbe Sini, continuamente indietro il testimone della nostra attuale esperienza di vita. È necessario sapere sulla base di quale montagna di conoscenza si sta tentando una ricostruzione ed è altrettanto necessario sottolineare come, tale ricostruzione, sia oggi possibile operarla da un punto di vista scientifico grazie alle scienze cognitive.

13Qui si fa imprescindibile la riflessione di Varela. La “riduzione” è infatti, nella ricerca scientifica odierna, una pratica frequentissima e importantissima, nel porla in atto però i ricercatori si devono sempre interrogare sulla sua effettiva legittimità. Esistono, in altri termini, dei casi nei quali una riduzione è da considerarsi senza dubbio legittima e dei casi i cui non si può procedere ad alcun tipo di riduzione. Delle riduzioni necessitano altresì di numerose mediazioni, altre no. Riguardo allo specifico contesto delle attività cerebrali e al problema della possibile correlazione delle stesse ad attività di tipo cognitivo o di coscienza, l’insegnamento di Varela è stato ricchissimo. La sua grandezza si fonda nell’aver sempre riferito a “contesti di significato” le sue analisi sulle attività cerebrali. Questo è un aspetto da sottolineare con grande accuratezza: il segno cerebrale infatti, di qualsiasi natura esso sia, non presenta in sé alcun collegamento o correlazione diretta al concetto, e nemmeno alla pratica di un invariante. Devono però essere considerate in relazione ai contesti tutte quelle mediazioni che intervengono nel caso della pratica di un’invariante, che si concretizza nell’azione corporea nel mondo e, nel caso del concetto, nella costruzione linguistica intersoggettiva che sola dona stabilità a una costruzione concettuale, in particolare di tipo matematico. Il fondamento ultimo è dunque, sempre, il principio cognitivo, come nel caso, già accennato, delle simmetrie, che evidenziano palesemente il loro profondo radicamento cognitivo, a cominciare dalle simmetrie nei nostri corpi.

14Per chiarire ulteriormente questo aspetto mi rifaccio a un altro esempio, richiamando la fisica di Feynman che presenta audaci proposte nell’analisi del tempo, letto addirittura come localmente invertito, proprio per conservare una simmetria, simmetria che in fisica quantistica viene denominata tcp, simmetria tempo-carica-parità. L’immaginare l’inversione locale del tempo al momento di creazione di una anti-particella, proposta da Feynman, si fonda sull’idea che il principio di simmetria costituisce l’asse portante dei principi di costruzione di tipo fisico-matematico: per conservarlo, che si inverta il tempo! E la teoria funziona a meraviglia.

15Il ruolo dei principi di costruzione nel processo di costituzione della conoscenza non era riconosciuto, come detto, dal progetto formalista e logicista, il quale invece esauriva totalmente il momento gnoseologico nei giochi logico-formali. Oggi però, anche nell’ambito delle teorie della prova, tali principi stanno, per così dire, riconquistando terreno. Voglio richiamare un episodio che, proprio su questo punto, costituì una personale illuminazione. Vent’anni fa partecipai a un animatissimo seminario, al mit, di Jean-Yves Girard nel quale si discuteva di logica lineare. Il dibattito si protrasse molto più del dovuto a causa delle dure reazioni di alcuni colleghi americani alle posizioni di Girard. Il mio ruolo di mediazione mi permise di stabilire, da quel giorno, un profondo legame tra me e il grande logico ma, soprattutto, mi offrì la possibilità di chiedergli su cosa fondasse le sue regole d’inferenza. La sua meravigliosa risposta ebbe su di me un impatto enorme; mi disse infatti che si basavano sulla simmetria. Questa visione era totalmente rivoluzionaria rispetto alla logica matematica e alla teoria della prova maggiormente in voga allora, e costituisce un’ulteriore prova a favore della comunanza, con reciprocità, tra i principi di costruzione della fisica teorica e della matematica, e un passo ulteriore verso la comprensione di quella che, come visto, mi piace definire la ragionevole efficacia della matematica. C’è poi, a ben vedere, un ulteriore motivo che concorre a spiegare questa efficacia. Per evidenziarlo faccio riferimento a un’affermazione di Jean-Luc Petit secondo la quale «ogni costituzione è contingente». Petit sottolinea adeguatamente come la parola costituzione sia ricca di valenze filosofiche, husserliane in particolare, e questo, credo di poter dire, vale in particolar modo per la costituzione della matematica. La matematica, proprio perché si costituisce attraverso il percorso filogenetico, storico e linguistico che ho cercato di delineare, proprio in virtù del suo sorgere da una frizione col mondo, rimanda a questi principi di costituzione universali, assolutamente scientifici perché non assoluti. Proprio qui si fonda la sua efficacia, è per questo che la matematica dice qualcosa sul mondo. Ovviamente questo dire si manifesta con tutta la ricchezza di un linguaggio che acquisisce la sua autonomia. Infatti, come accade anche nella lingua corrente, usiamo determinati frammenti del linguaggio, specifiche espressioni per capire realtà distinte. Si pensi alla nozione di numero complesso che deriva da giochi algebrici del tutto misconosciuti finché Gauss e Argand, sulla base di interpretazioni in termini di simmetrie sul piano, ne hanno dischiuso il significato geometrico. Sulla base di questa “semantica”, circa centoventi anni dopo, la fisica quantistica li ha utilizzati in maniera essenziale per la sua propria matematizzazione: gli spazi di Hilbert e l’equazione di Schrödinger sono dati sul corpo complesso. Più precisamente, la “coniugazione”, nozione propria alle funzioni di variabili complesse, rappresenta egregiamente i fenomeni di coniugazione quantistica, dando luogo al trasferimento di un ambito concettuale da un contesto a un altro in termini molto rigorosi ed efficaci. È qui racchiuso il senso delle potenzialità metaforiche del linguaggio, che noi utilizziamo quotidianamente a fini esplicativi, senza necessariamente il rigore della matematica.

16Il rigore massimale, fra le pratiche umane, è proprio della matematica, la quale costituisce una singolarità tra le nostre forme di cultura simbolica; è immersa in esse ma conserva la sua specificità in quanto luogo della stabilità e dell’invarianza concettuale massimale. In matematica sono intollerabili le polisemie; il concetto deve essere caratterizzato da assoluta stabilità, deve possedere un’autonomia contestuale.

17Il motivo di un’analisi fondazionale, che è poi, come detto, il motivo di fondo del mio lavoro con Bailly, fra matematica e fisica (con l’attenzione protesa alla biologia), si risolve tutto in questo scavare le comuni origini cognitive dei principi di costruzione fisici e matematici e, quindi, nell’indagare il radicamento della costruzione matematica in prassi stratificate di grande complessità e dalle origini antichissime.

18Sappiamo tutti che la matematica svolge un ruolo centrale in ogni filosofia della conoscenza: da Platone a Wittgenstein a Husserl è sempre sullo sfondo delle riflessioni gnoseologiche. Questo trova una spiegazione proprio nel fatto che, molto probabilmente, i primi gesti, le prime forme di azione, tanto umane che animali, si basano proprio sull’azione nella spazio che richiede l’individuazione di una traiettoria, di un confine, la pratica di una geodetica. Questi sono tutti presupposti cognitivi antichissimi che fondano le successive concettualizzazioni matematiche, tutto questo precede qualsiasi ulteriore forma di costruzione umana di intelligibilità del mondo. È questo il senso ultimo dell’onnipresenza di un’analisi fondazionale della matematica.

19Quando si risale a tali principi però, è bene evidenziarlo, si pongono anche in luce talune difficoltà che purtroppo è oggi impossibile discutere con Francisco Varela e che, personalmente, non avevo capito a fondo nel 2001 quando lo stesso Varela diceva di esigere la matematica per i suoi sistemi. Queste difficoltà possono però, a loro volta, dischiudere una nuova via. Lo sguardo fondazionale vuole essere innanzitutto critico e proprio in virtù di ciò, contro le semplici generalizzazioni, conduce a evidenziare quei rapporti di dualità tra biologia e matematica ai quali ho brevemente accennato. Il generico e lo specifico vengono rovesciati in una dualità che però, a mio avviso, non equivale a una frattura, bensì un punto di partenza per costruire un nuovo dialogo fra discipline costituite in modo radicalmente differente. La difficoltà del teorizzare, in biologia, è evidente; si pensi alla teoria dell’evoluzione, forse l’unica teoria biologica equiparabile per vastità, peso, importanza, alla relatività e alla quantistica in fisica. Ebbene, anche questa teoria risulta troppo aperta, necessita di specificazioni che i tentativi fondati sul dna non sono ancora stati in grado di portare.

20In un certo senso, le teorie biologiche procedono per collezioni di esempi, sono una sorta di reti di esempi in cui un controesempio non necessariamente distrugge la teoria, come avviene in fisica e matematica, ma deforma piuttosto la rete. Come si possono porre, in questo quadro, le invarianti di intelligibilità di tipo matematico? Importanti indicazioni in tal senso sono date dal grande lavoro di Turing e Thom che, negli studi sulla morfogenesi, danno vita alla più ammirevole applicazione della fisica al vivente. Si guardi, come esempio, alla filotassi dove delle forme, delle regolarità, le strutture frattali straordinarie, che a ben vedere sono sempre gli organi, costituiscono dei luoghi di frizione fisica fra il vivente nella sua unità e l’ambiente fisico. La frizione è uno scambio energetico che dà una determinazione fisica della struttura, dell’organo. Ma nulla dice sulla morfogenesi dell’organismo, nella sua unità e sul suo mantenimento.

21Proprio l’unità stava molto a cuore a Francisco Varela, e la grande difficoltà nel riscontrarla può essere superata solo cambiando gli osservabili e i parametri, rispetto alle trattazioni fisiche. La fisica quantistica insegna che l’osservabile principale è l’energia, tutto comincia dallo spettro d’energia, l’energia si caratterizza con forza quale operatore (Schrödinger); è lei che costruisce la teoria fisica. Il tempo invece si contraddistingue come mero parametro, diversamente dalla tradizione che, da newton a Einstein, lo vedeva come epifenomeno del movimento. In biologia si deve modificare radicalmente questo quadro; il tempo è un operatore, l’energia un parametro; l’organizzazione del vivente nella filogenesi si fa nel tempo, il vivente organizza il tempo e, quest’ultimo, è quindi un operatore delle sue attività. Ancora una dualità e, così facendo, in un recente articolo, scaricabile, con Bailly, abbiamo usato l’equazione di Schrödinger, duale, per ricostruire matematicamente (dar senso matematico) alla curva della biomassa sulla complessità fenotipica di Gould.

22Vorrei concludere richiamando le visioni dell’autopoiesi e della strutturazione del vivente tanto care a Varela. L’obiettivo è sempre quello di centrare gli invarianti che contano; la fisica, in virtù del comune radicamento nelle invarianti della prassi, insieme alla matematica, ha sempre e innanzitutto, individuato le invarianti fondamentali. E questo fino a giungere alle grandi costanti, che hanno costituito i maggiori punti di svolta nella storia della fisica teorica: la costante gravitazionale di Galileo-newton, la costante di Planck, la velocità della luce, invariante rispetto ai sistemi di riferimento, sono queste le fondamenta di vertiginose costruzioni matematico-concettuali. Ora il problema è: dove ritrovare queste invarianti, o addirittura costanti, nel vivente? È possibile, è una direzione da seguire? È porsi sul terreno aperto da questo interrogativo, un modo di proseguire il lavoro di Francisco Varela. Nel vivente l’invariante principale è la variabilità; ciò che conta è che una cellula non è uguale alla cellula madre e nemmeno a quella vicina. Questo è essenziale poiché costituisce la condizione di possibilità della deriva filogenetica e dell’evoluzione. In questo contesto, come si può superare la difficoltà derivante dall’applicazione di una scienza delle invarianti come la matematica? La nozione dinamica, ancora tutta da specificare, di autopoiesi, è un tentativo di centrare e arricchire la nozione di stabilità strutturale. Quest’ultima non è unicamente assimilabile, malgrado gli sforzi di Thom, a un invariante topologico. Forse, si può partire dalle costanti temporali (i ritmi del vivente, si veda un altro articolo a riguardo, sempre con Bailly, sulla geometria del tempo del vivente) e seguire, in questo modo, proprio le suggestive e profonde indicazioni di Francisco Varela, che aveva dedicato ai ritmi cerebrali e ai fenomeni di retensione/protensione, i suoi ultimi lavori. Non c’è, al fondo di questo progetto, il mito secondo cui la conoscenza può passare solo attraverso la matematica, ma la consapevolezza che la matematica può fornire il luogo adeguato all’evolversi e precisarsi della discussione, in virtù della sua capacità di assegnare stabilità e invarianza massimale ai concetti. La descrizione matematica, laddove è possibile, rende la proposta di intelligibilità rigorosa, la obiettivizza. Ma, per far ciò, occorrono un’indagine e un’analisi attente, intransigenti, pena l’incorrere nell’abuso e nell’utilizzo trasversale e passivo, acritico, di strumenti che hanno altre origini e applicazioni. Occorre riuscire a proporre le invarianti significative, i principi di costruzione che sorgono da un sostrato comune, seguendo il luminoso e secolare esempio fornito dalla fisica, nel metodo, non necessariamente nelle tecniche. E il metodo della fisica è sempre stato rivoluzionario, mai di pedissequo trasferimento di idee e tecniche da altre discipline: salvo rari casi, essa si è anche costruita le propria matematica.

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Note

1 Si fa riferimento a Longo 2006.

2 cfr. Longo 2002. Per un inquadramento più generale, si veda Bailly e Longo 2006 (l’introduzione e le presentazioni sono scaricabili dalla homepage dell’autore).

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Per citare questo articolo

Notizia bibliografica

Giuseppe Longo, « Fondamenti cognitivi della matematica e analisi matematiche del vivente », Rivista di estetica, 37 | 2008, 113-124.

Notizia bibliografica digitale

Giuseppe Longo, « Fondamenti cognitivi della matematica e analisi matematiche del vivente », Rivista di estetica [Online], 37 | 2008, online dal 30 novembre 2015, consultato il 26 settembre 2017. URL : http://estetica.revues.org/1987 ; DOI : 10.4000/estetica.1987

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