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convenzioni

Platonismo e Convenzioni

Allen P. Hazen
p. 171-187

Note della redazione

Traduzione di Giuliano Torrengo.

Testo integrale

  • 2 Gödel 1995, scritto per il volume collettaneo Schilpp 1963 ma poi non incluso nel volume; due bozze (...)

1Il platonista sostiene che le verità della matematica e della logica siano letteralmente vere, ossia che descrivano (in qualche modo: non voglio legare la definizione a una particolare teoria semantica) realtà che non sono create o decise da noi. Il convenzionalista sostiene invece che le proposizioni che chiamiamo verità della matematica siano in qualche misura convenzionali: esse esprimerebbero convenzioni che abbiamo adottato noi, o certe loro conseguenze. Le due posizioni sono apparentemente agli antipodi l’una dell’altra. Non sorprende che un platonista come Gödel abbia faticato per anni producendo diverse versioni di un articolo il cui intento era refutare il convenzionalismo del suo vecchio amico Rudolf Carnap: il convenzionalismo di Carnap era, per Gödel, un errore fondamentale, e forse rappresentò il motivo più profondo del suo rifiuto delle dottrine del Circolo di Vienna2. Persino il platonista più deciso, però, potrebbe ammettere che il contenuto di ciò che chiamiamo logica e matematica contenga degli elementi convenzionali, e persino un convenzionalista radicale potrebbe riconoscere nella logica e nella matematica elementi che non sono soggetti a convenzioni. Alcune interessanti filosofie combinano fattori platonisti e fattori convenzionalisti in modi interessanti.

I

  • 3 Lewis 1969.

2Il primo passo per fare chiarezza su tali questioni è chiarire che cosa sia una convenzione. Penso che a tale riguardo la migliore teoria disponibile in letteratura sia quella di David Lewis3, sebbene occorra migliorarne alcuni dettagli per adattarla al contesto in oggetto. Alcune convenzioni sono accordi espliciti fra le parti, ma quelle più interessanti da un punto di vista filosofico non lo possono essere, come nel caso delle convenzioni che definiscono il linguaggio naturale (e dicendo che il linguaggio è convenzionale si dice certamente una verità importante). Lewis ha sostenuto che la caratteristica centrale del concetto generale di convenzione, applicabile in questi ultimi casi come in quelli ove l’accordo sulle convenzioni è esplicito, è la disponibilità di alternative. Un determinato modello comportamentale è convenzionale (per esempio parlare in una certa lingua, o guidare sul lato destro della strada) se c’è un altro modello che grossomodo sarebbe altrettanto efficace se venisse adottato da tutti i membri della comunità (parlare in una lingua diversa, o guidare sulla sinistra), ma per ogni membro della comunità il valore derivante dal seguire un modello comune supera di gran lunga qualsiasi preferenza individuale per una particolare alternativa (ci capiamo reciprocamente, evitiamo scontri frontali). Dunque, stando all’analisi di Lewis, l’aderenza a un certo modello comportamentale è convenzionale se si regge, non su una preferenza assoluta degli agenti a comportarsi in quel modo piuttosto che in un modo alternativo, ma su una loro preferenza condizionale ad agire in accordo con un modello qualsiasi purché anche gli altri agenti facciano lo stesso.

3Come accennato, quest’analisi richiede qualche modifica per essere applicabile alla questione del convenzionalismo in matematica e in logica. Per Lewis la convenzionalità è essenzialmente una nozione sociale. È l’aderenza a un modello di comportamento da parte dei membri di una comunità a essere convenzionale, e ciò che la rende convenzionale è che l’identità del modello, nell’ambito di uno spettro di alternative, è per ciascun membro meno importante del fatto che tutti gli altri seguano lo stesso modello. Non è affatto ovvio, però, che la matematica e la logica siano convenzionali in questo modo: in fondo Brouwer riteneva che la vera matematica fosse una questione di costruzioni mentali, prodotte da una mente forse solipsistica, e almeno in astratto (anche se non dal punto di vista della biologia e della psicologia degli esseri umani) sembrerebbe possibile che un essere sia in grado di imparare a ragionare deduttivamente, e quindi a usare una certa logica, senza vivere e comunicare con altri membri di una comunità. Penso che questo sia un problema relativamente minore, in primo luogo perché non sorge per la matematica e la logica così come vengono di fatto impiegate dagli esseri umani dotati di ragione, ma soprattutto perché penso che l’analisi di Lewis possa essere estesa fino a coprire convenzioni “private”. Quando mi ritrovo a contare un piccolo numero di oggetti o eventi, normalmente conto fino a 12 sulle dita della mia mano destra, toccando con il pollice prima la punta del mignolo, quella dell’anulare, quella del medio e quella dell’indice, poi le giunture centrali di queste stesse dita nel medesimo ordine, e infine i punti in cui le dita si congiungono alla mano, sempre nel medesimo ordine. Ovviamente potrei procedere in molti altri modi: credo che contare sulle dita sia comune in India, ma tipicamente lì si conta scendendo lungo le giunture di ogni dito prima di passare al successivo, cioè in verticale, mentre nel mio sistema si procede orizzontalmente. Le due alternative sono ugualmente efficaci ma, per evitare di fare errori e per non dover impiegare troppa concentrazione su ciò che si sta facendo, è meglio procedere sempre allo stesso modo. Il mio modo di contare sulle dita ha dunque due delle caratteristiche di una convenzione à la Lewis, ma non è sociale: non cerco di convertire alla mia convenzione gli indiani che contano sulle dita, ma non vedo nemmeno alcuna ragione perché io, che ho acquisito l’abitudine di contare in questo modo orizzontale, debba cambiare e adottare il loro modo. Forse si potrebbe dire che la mia pratica è una convenzione “intrapersonale”: la convenzione non riguarda diverse persone, ma piuttosto il mio io passato e i miei io futuri.

4Un’altra questione – che minaccia lo status convenzionale del linguaggio ordinario – ha a che fare con il senso in cui le alternative devono essere disponibili. Supponiamo che abbiano ragione i chomskiani e che vi sia un’anatomia geneticamente determinata delle parti del nostro cervello rilevanti per il linguaggio la quale impone dei vincoli (non ovvi) sui tipi di linguaggi che noi esseri umani possiamo imparare (come lingua madre). In tal caso potrebbero esserci delle caratteristiche comuni a tutti i linguaggi naturali che sono logicamente contingenti, nel senso che linguaggi privi di tali caratteristiche sono possibili in astratto: forse i marziani parlano linguaggi di questo tipo, o forse si potrebbero costruire dei robot capaci di imparare linguaggi siffatti con lo stesso grado di facilità con cui si imparano i linguaggi umani. In effetti, forse un essere umano adulto che ne conosca la grammatica e il dizionario potrebbe anche imparare a tradurre da e in un linguaggio siffatto, ma un bambino umano non sarebbe in grado di impararlo bene anche se coloro che si occupano della sua educazione lo parlassero correntemente. (Non conosco un esempio plausibile di tali caratteristiche. Ci sono “universali linguistici” che sembrano essere logicamente contingenti – per esempio, nella classe dei linguaggi studiati dai linguisti sembra esservi una forte correlazione fra l’ordine soggetto-verbo negli enunciati non marcati e l’ordine nome-aggettivo nei sintagmi nominali – ma si tratta alla meglio di generalizzazioni statistiche. L’inglese moderno, per esempio, risulta essere un’eccezione ad almeno un “universale” tipologico consolidato.) C’è un senso ovvio in cui per noi non sarebbe una questione convenzionale parlare un linguaggio con tali caratteristiche: sarebbe la biologia a imporcelo, così come è la biologia a imporci di respirare aria e bere (fluidi che contengono una percentuale ragionevole di) acqua. Penso tuttavia che vi sia anche un senso interessante, da un punto di vista filosofico, in cui tali caratteristiche sarebbero comunque un elemento convenzionale del linguaggio umano in generale, così come il lessico è un elemento convenzionale di ciascun linguaggio particolare. Su un piano astratto, e supponendo che marziani dotati grossomodo della nostra stessa intelligenza generale e con una durata di vita analoga possano imparare e usare un linguaggio che sia privo di tali caratteristiche, esse non sono essenziali alla rappresentazione e alla comunicazione linguistica. Le convenzioni in questo secondo senso – chiamiamole convenzioni biologiche – possono a mio avviso rientrare nella teoria di Lewis, o almeno in una sua generalizzazione o estensione analogica. Supponiamo di far parte di una commissione che deve stabilire gli standard di programmazione per una specie di androidi con capacità linguistiche: diverse squadre di progettatori intendono produrre dei prototipi e partecipano a una gara d’appalto, e noi siamo stati incaricati dai clienti – o forse, meglio, da un gruppo industriale che rappresenta sia i clienti che i progettatori – di determinare i criteri con cui scegliere il progetto migliore. Fatti certi studi e simulazioni dell’ecologia di tali androidi, emerge chiaramente che uno dei criteri deve essere che i più giovani dovrebbero poter imparare rapidamente un primo linguaggio, e così includiamo fra gli standard il requisito di dotare i loro cervelli di un circuito dedicato all’apprendimento linguistico. A questo punto arriviamo al problema. Gli schemi di cui si è a conoscenza per la progettazione di tali circuiti impongono vincoli ben precisi sulla classe di linguaggi che possono essere imparati: gli androidi dotati di circuiti siffatti saranno in grado di imparare facilmente o un linguaggio umano o un linguaggio marziano, ma non entrambi. Dal momento che non vi è alcuna ragione a priori per preferire un tipo di linguaggio all’altro, lanciamo una moneta e decidiamo il nuovo standard in questo modo. Mi sembra chiaro che in una situazione immaginaria di questo tipo sia del tutto convenzionale che gli androidi che si andranno a produrre abbiano moduli per l’apprendimento linguistico che funzionano per i linguaggi di una classe piuttosto che dell’altra: la ragione iniziale per adottare uno standard al posto dell’altro non è importante, tuttavia ogni progettatore e ogni cliente preferiranno che si segua il medesimo standard del resto dell’industria. Ma l’evoluzione darwiniana – mutazioni casuali e selezione naturale – può produrre lo stesso risultato della progettazione industriale. Se la congettura di Chomsky è giusta, e noi esseri umani siamo davvero predisposti a imparare linguaggi di una certa classe ristretta invece dei linguaggi marziani (che a priori sono ugualmente efficaci), allora la mutazione casuale (o forse l’esaptazione di tratti anatomici neurali evoluti inizialmente per funzioni non correlate all’apprendimento del linguaggio) avrà svolto un ruolo analogo all’immaginario lancio della moneta, e la selezione naturale, favorendo quegli individui che hanno capacità di apprendimento linguistico adatte ai linguaggi parlati dai gruppi in cui sono nati e favorendo al tempo stesso quei gruppi i cui membri imparano facilmente un linguaggio comune, avrà svolto la funzione delle preferenze condizionali degli agenti individuali.

  • 4 Ad esempio, gli organismi unicellulari della famiglia Streblomastygidae. Cfr. http://www.palaeos.co (...)

5È in questo senso che persino il linguaggio del codice genetico può essere visto come convenzionale: non è essenziale alla chimica del DNA e alla sua trascrizione che ogni sequenza di tre basi debba avere il significato preciso che ha nelle nostre cellule, tant’è vero che vi sono organismi4 con varianti “dialettali” del codice genetico. Ma la nozione di convenzione biologica sembra rilevante anche per la questione del convenzionalismo in matematica e in logica. Henri Poincaré era un convenzionalista in geometria, poiché sosteneva che (attraverso opportuni cambiamenti in ciò che pensatori successivi avrebbero chiamato definizioni coordinative) tutte le nostre osservazioni di fenomeni localizzati nello spazio possano rientrare tanto in una descrizione euclidea dello spazio fisico quanto in una varietà di descrizioni non euclidee: la scelta della geometria è una questione pragmatica. Tuttavia, è noto che egli non riuscì a prevedere l’adozione di geometrie non euclidee nella Relatività Generale: Poincaré credeva che, a causa della sua semplicità, in pratica avremmo sempre scelto la geometria euclidea, indipendentemente dai fenomeni dinamici o ottici che avremmo scoperto e tentato di descrivere. Ora, immaginiamo un’estensione chomskiana dell’argomento di Poincaré. Supponiamo che qualcuno sostenga che la nostra preferenza per una rappresentazione euclidea dei fenomeni spaziali sia un vincolo biologico: date l’architettura innata di quelle parti del nostro cervello che vengono usate per il ragionamento spaziale e dato il modo in cui questi centri sono connessi ai nostri organi di senso, sarebbe virtualmente impossibile per uno scienziato umano imparare a ragionare efficacemente in un quadro non euclideo. (Naturalmente Poincaré non avrebbe mai sostenuto una tesi del genere: la sua esposizione intuitiva dei modelli delle geometrie non euclidee dimostrerebbe semmai il contrario.) Ebbene, questa tesi sarebbe compatibile con il riconoscimento della coerenza formale delle geometrie non euclidee, e anche con l’ammettere che esseri con cervelli organizzati in modo diverso dal nostro – esseri, per coniare un’espressione, con una diversa forma dell’intuizione – potrebbero essere in grado di usare un quadro non euclideo per analizzare i fenomeni fisici.

6I problemi più seri nel generalizzare la teoria lewisiana in modo da coprire il convenzionalismo in matematica e in logica riguardano però l’interpretazione dei suoi concetti fondamentali. Che genere di cose sono le alternative? E in che senso si può dire che sono disponibili? Ho detto che le convenzioni riguardano dei modelli comportamentali: aderire a una convenzione è agire in un certo modo. Se parlare di convenzioni in logica dev’essere qualcosa di più di un semplice equivoco, sembrerebbe che occorra estendere la definizione in modo da comprendere le azioni mentali. Una logica è un modello di inferenze e schemi inferenziali: aderire a una logica è ragionare in accordo con i suoi canoni. Il contenuto della matematica è, almeno in prima approssimazione, un corpus di teoria matematica. Pensare che questo corpus possa essere convenzionale sembra richiedere un’ulteriore generalizzazione dell’idea di comportamento. L’accettazione di un teorema o di un assioma – non il suo diventare accettato, ma la sua accettazione fissa e continuata – non è affatto un’azione, nel senso naturale di questa parola, bensì uno stato mentale. (In filosofia c’è un uso tradizionale secondo cui le credenze e cose simili sono chiamate atti mentali, ma quella stessa tradizione distingue poi gli atti dalle azioni.) Forse però l’enfasi su azioni ben precise non è essenziale a una nozione lewisiana, in senso ampio, di convenzione. Aderire a una convenzione di tipo comune è spesso una questione di abitudine: non ogni azione che si compie in accordo con la convenzione è deliberata, come quando si fa un cenno di saluto a un conoscente che si incrocia per strada. E forse si può pensare che il nesso tra l’accettazione di un assioma e le singole azioni (come compiere determinate inferenze) sia analogo al nesso che lega un’abitudine all’esecuzione di certe azioni specifiche. Certamente nei sistemi logici formali la distinzione tra assiomi e regole di inferenze non è una distinzione categoriale: spesso i logici parlano degli assiomi come di regole senza premesse. In modo analogo, quindi, quando cerchiamo di capire se qualcosa è convenzionale, forse è meglio pensare che accettare un assioma ed essere inclini a compiere inferenze in conformità a un dato modello logico siano lo stesso genere di cose.

7Ma che cosa significa dire che più di un’alternativa è disponibile? In un certo senso, le alternative disponibili sono fin troppe: la gente può credere a un sacco di falsità, così come può ragionare in maniera fallace! Un convenzionalista in logica o in matematica vuole sostenere qualcosa di più della semplice tesi per cui le persone non sono infallibili. Ciò che si vuole sostenere è che ci sono delle vere e proprie alternative – insiemi di assiomi alternativi, logiche alternative – che potrebbero venire accettate senza incorrere in scorrettezze. Dire che gli assiomi o le regole di inferenza sono convenzionali significa affermare che il nostro accettarli non dipende da standard di correttezza di alcun tipo. Ed è qui che emerge il conflitto: i platonisti credono che in logica e in matematica vi siano davvero degli standard di correttezza che sono indipendenti dalle nostre scelte e dalle nostre preferenze, e persino dalla nostra natura biologica. Per il platonista, gli enunciati matematici corretti sono descrizioni vere della realtà matematica, e data una nozione di verità, il corrispondente standard di correttezza per le inferenze è immediato: devono essere valide.

II

  • 5 Mancuso 2007.
  • 6 I matematici erano consapevoli di questa concezione già da diversi anni. È centrale in Zermelo 1930 (...)

8Forse la forma di platonismo più comune in filosofia della matematica è il realismo nei confronti della teoria degli insiemi: la posizione stando a cui gli assiomi della teoria (di Zermelo-Fraenkel, ZF) sono descrizioni vere (anche se ovviamente non complete) dell’universo delle entità matematiche. La popolarità di questo punto di vista nell’ultimo terzo del secolo xx (grosso modo) contrasta in modo evidente con l’opinione filosofica che era diffusa pochi decenni prima. Forse ancora traumatizzati dal paradosso di Russell, forse più attratti in positivo dagli atteggiamenti pragmatici e antimetafisici del Circolo di Vienna, verso la metà del secolo molti pensatori avevano un’atteggiamento più cauto e riservato nei confronti degli assiomi della teoria degli insiemi: Paolo Mancuso5 ha fornito un resoconto affascinante delle discussioni che correvano fra alcuni dei principali logici del periodo. L’accettazione sempre più vasta degli assiomi di Zermelo-Fraenkel (interpretati in modo realistico) coincise con una crescente presa di coscienza, da parte della comunità filosofica, di una motivazione semplice e stringente per la loro adozione, la cosiddetta concezione iterativa degli insiemi6: per il tipico realista degli anni Settanta, tale concezione forniva un’immagine informale della realtà insiemistica descritta formalmente dagli assiomi.

  • 7 Fine 1981.
  • 8 Van Aken 1986.

9La concezione iterativa degli insiemi si fonde bene con un tema comune nella riflessione metafisica sulla teoria degli insiemi, secondo cui gli insiemi sono in qualche modo entità dipendenti, cioè dipendono ontologicamente dai loro membri. La letteratura riguardo a questa dipendenza metafisica è piuttosto scarsa (forse perché è difficile dire qualcosa che risulti davvero informativo), ma la sua influenza è notevole. Kit Fine7 e altri, prendendo in considerazione formulazioni modali della teoria degli insiemi in logiche che ammettano l’esistenza contingente, trova intuitivo che se un membro qualsiasi di un insieme non esiste in un certo mondo possibile, allora in quel mondo non esiste neppure l’insieme. In altri autori l’influenza è chiara anche quando si ha a che fare con un’assiomatizzazione della teoria degli insiemi in un linguaggio estensionale: James Van Aken8 motiva un’elegante ri-assiomatizzazione di ZF considerando una relazione di presupposizione insiemistica, stando alla quale un insieme presuppone i suoi membri, i membri dei suoi membri, e così via.

  • 9 Nella terminologia della concezione iterativa, l’assioma di fondazione corrisponde all’idea per cui (...)
  • 10 Zermelo 1908. La forma moderna degli assiomi ha origine con Zermelo 1930, sebbene l’idea possa fars (...)
  • 11 Quine 1963: 285.
  • 12 Ovviamente vera perché così vuole la concezione iterativa. Questa è una tesi più forte dell’afferma (...)
  • 13 La proposta fu avanzata in Aczel 1988. Questa monografia delinea la dimostrazione (facile) del fatt (...)

10Gli assiomi motivati dalla concezione iterativa includono l’assioma di fondazione (conosciuto anche come assioma di regolarità) o, equivalentemente, una regola di induzione-epsilon: se dal fatto che tutti i membri di un certo insieme hanno una certa proprietà si può inferire che l’insieme stesso abbia quella proprietà, allora si può asserire che ogni insieme ha quella proprietà9. Quest’assioma non era incluso nella proposta assiomatica originaria di Zermelo10 e non è necessario per derivare dalla teoria degli insiemi i principi basilari dell’aritmetica e dell’analisi: Quine11 fu felice di ometterlo dalla sua formulazione della teoria dal momento che era incompatibile con il suo elegante trattamento degli individui (ur-elementi). Il tipico realista degli anni Settanta, però, lo considerava una verità ovvia12, che esprimeva qualcosa di profondo nella metafisica della matematica. Ci fu dunque una certa eccitazione quando, negli anni Ottanta, venne proposto13 di adottare al suo posto un assioma che risultava incompatibile con l’assioma di fondazione (il cosiddetto assioma di antifondazione, AFA). Ciò che è sorprendente è che ben presto l’eccitazione è… evaporata! I matematici non vedono alcun motivo per abbandonare l’assioma di fondazione, e non perché siano convinti della sua verità, ma perché vedono la scelta fra questi due assiomi come poco interessante, come una scelta che va fatta sulla base del gusto o della convenienza (e molti preferiscono la scelta tradizionale perché la teoria che deriva dall’assioma di fondazione è leggermente più semplice).

  • 14 Esiste un resoconto accessibile e filosoficamente sensibile di questo lavoro in Koellner 2006.
  • 15 Per una introduzione accessibile ai concetti della teoria delle categorie e una descrizione della t (...)

11Dunque, qualcosa che sembrava essenziale alla concezione realista della teoria degli insiemi così come si era sviluppata nei primi decenni dopo la Seconda Guerra Mondiale – l’inclusione dell’assioma di fondazione in ZF – è stato relegato allo stato di una convenzione. Tuttavia ciò non viene visto come incompatibile con un atteggiamento più generale di stampo realista nei confronti della teoria. Molti degli insiemisti che si dichiarano indifferenti nei confronti dell’assioma di fondazione non lo sono affatto rispetto ad altre modifiche che sono state proposte per gli assiomi standard di ZF: seguendo il suggerimento di Gödel del 1947 secondo cui gli assiomi standard non basterebbero a decidere l’ipotesi del continuo, e alla luce della dimostrazione rigorosa fornita da Cohen nel 1963, molti studiosi sono andati alla ricerca di nuovi assiomi, intuitivamente plausibili, che potessero decidere se tale ipotesi sia vera o falsa. Come Gödel aveva previsto, le intuizioni si sono fatte più sofisticate: si sono definiti nuovi concetti insiemistici (riguardanti per esempio diversi tipi di grandi cardinali) e il loro uso ha portato a nuove opinioni in merito a quali assiomi sembrino naturali14. Tali estensioni di ZF, e le argomentazioni a supporto della loro plausibilità o verità, sono ritenute interessanti: aumentano il potere matematico della teoria degli insiemi e forniscono risposte a quesiti matematici che restavano aperti. Per contro, la sensazione diffusa è che ZF con l’assioma di fondazione e ZF con l’assioma di antifondazione abbiano lo stesso contenuto matematico. Fra i matematici c’è un certo qual accordo sull’applicazione di tale nozione, e anche una certa fiducia nella sua oggettività – vi è largo accordo su quali siano le coppie di teorie che hanno lo stesso contenuto e quali invece quelle in cui una delle due ha un contenuto maggiore, e vi è la volontà di trattare seriamente la questione dell’uguaglianza di contenuto in casi nuovi –, ma non sembra vi sia altrettanto accordo su come definirla. Un tentativo di caratterizzare il senso in cui le due varianti di ZF hanno lo stesso contenuto è in termini di teoria delle categorie: le due varianti hanno le stesse conseguenze per la categoria degli insiemi15. Tuttavia può sembrare che in questo modo si stiano semplicemente moltiplicando i problemi: abbiamo due teorie incompatibili, ciascuna delle quali quantifica su un dominio di insiemi su cui è definita una relazione di appartenenza, e la risposta alla domanda se queste teorie abbiano lo stesso contenuto prende la forma di una terza teoria, una teoria che quantifica su un dominio di morfismi su cui è definita un’operazione parziale di composizione, la quale dovrebbe a sua volta esprimere lo stesso contenuto!

  • 16 Cfr Lewis 1983.
  • 17 Quine 1963: 215.

12Lasciando da parte la questione di dove esattamente tracciare la linea di confine, è chiaro che non tutti i problemi riguardanti gli assiomi della teoria degli insiemi hanno il medesimo statuto, e a seconda dei casi si possono assumere atteggiamenti diversi anche da parte di teorici che, in un senso ampio, sono tutti realisti o platonisti. A un estremo vi sarebbe una sorta di realismo totale a cui forse aderivano molti filosofi quando la concezione iterativa degli insiemi godeva della sua interpretazione più forte e metafisica: un realismo che considera fattuali tanto i quesiti sull’Ipotesi del Continuo quanto quelli sull’assioma di fondazione. ZF con l’assioma di fondazione e ZF con l’assioma di antifondazione sono formalmente interpretabili l’una nell’altra: in ciascuna delle due teorie si può definire un predicato monadico insieme* e un predicato diadico membro* in modo che gli assiomi dell’altra teoria risultino dimostrabili come teoremi quando la quantificazione viene ristretta a insiemi che ricadono sotto il predicato insieme* e la relazione di appartenenza insiemistica viene interpretata mediante il predicato membro*. Nel sostenere che una versione della teoria degli insiemi è vera mentre l’altra è falsa, il realista estremo deve dunque sostenere che la coppia di definizioni che permette l’interpretazione della teoria falsa in quella vera deve essere in qualche modo difettosa: quando si sostituiscono insieme e membro con insieme* e membro*, il vero significato delle asserzioni insiemistiche si perde. Forse il modo migliore per descrivere questa posizione è nei termini della nozione di proprietà naturale avanzata da David Lewis16: i realisti estremi credono di afferrare gli unici concetti veramente naturali di insieme e di appartenenza, e ritengono che gli assiomi della loro teoria preferita esprimano verità che chiamano in causa tali concetti, e che i *-concetti introdotti per definizione sono meno naturali. La posizione di Quine sembrerebbe invece occupare l’estremo opposto. Quine era una realista nei confronti della teoria degli insiemi in quanto sosteneva che gli assiomi della teoria degli insiemi sono veri nello stesso senso in cui lo sono i principi teorici delle scienze naturali o le asserzioni di senso comune. Ciononostante, egli sosteneva anche che l’unico vincolo che si possa imporre a una teoria assiomatica degli insiemi fosse quello di fornire una sistematizzazione semplice ed efficace della matematica che si usa in fisica, e di conseguenza sembra che egli ritenesse che l’Ipotesi del Continuo potesse essere accettata su basi convenzionali. A tale proposito dice infatti che «l’intuizione non sembra fornire un verdetto; tutto ciò che possiamo dire a favore dell’ipotesi è che si tratta evidentemente di un’assunzione più semplice di quella contraria»17. Fra queste due posizioni estreme vi è quell’atteggiamento intermedio, che ho attribuito ad alcuni ricercatori contemporanei di teoria degli insiemi, che distingue fra diverse questioni in materia di assiomatizzazione classificandone alcune come convenzionali e altre come oggetto di verità non convenzionale. Quest’atteggiamento intermedio è, penso, congeniale a un platonista forte. Da un lato, proposizioni come l’Ipotesi del Continuo non sono semplicemente proposte di carattere convenzionale, ma esprimono fatti riguardanti la realtà matematica. Dall’altro si riconosce comunque un ampio ruolo alle convenzioni: ci sono molti linguaggi possibili per descrivere questa realtà, e a seconda del linguaggio che si sceglie la descrizione può concretizzarsi attraverso un’ampia gamma di sistemi assiomatici formali (ZF con l’assioma di fondazione, ZF con l’assioma di antifondazione, la teoria delle categorie).

III

  • 18 Cfr. Quine 1936 e Gödel 1995.
  • 19 Cfr. Smullyan 1961. Un sistema formale elementare è dato da un numero finito di predicati (che pren (...)

13Un atteggiamento analogo – platonista nel riconoscere standard di validità che non sono interamente convenzionali in natura, ma disposto ad accordare ampio spazio alle convenzioni per ciò che concerne la scelta del linguaggio e quindi le regole formali di inferenza – può essere sostenuto anche nei confronti della logica. Contro Carnap, sia Quine sia Gödel18 hanno argomentato che persino un convenzionalismo logico estremo presuppone un minimo di platonismo. Diamo per buono che in logica si possa adottare in modo convenzionale un sistema arbitrario di regole in modo che sia sensato dire che una persona razionale ragiona in accordo con queste regole. Ne segue che dev’essere sensato affermare che le premesse e la conclusione di una delle inferenze compiute da questa persona, o gli enunciati che le rappresentano, esemplifichino una delle regole del sistema. Ma dal momento che le regole sono schematiche, e quindi posseggono molte esemplificazioni, quest’ipotesi ci porta al di là della convenzione invocata: dire che qualcuno sta ragionando in accordo con una certa convenzione implica, oltre alla descrizione della regola schematica, il fatto combinatorio che una particolare sequenza di (enunciati che rappresentano) proposizioni sia un’esemplificazione dello schema. Attribuire una logica a qualcuno, dunque, richiede una forma di platonismo nei confronti della relazione fra esemplificazioni e regole schematiche e, se l’attribuzione non è vuota, richiede anche una logica minimale in cui dedurre che certe sequenze particolari sono esemplificazioni di determinate regole schematiche. Di per sé, quest’argomento stabilisce solo un tipo molto debole di platonismo, che probabilmente lascia ancora troppo spazio alle convenzioni. Quine se ne serve per stabilire la validità pre-convenzionale di due regole di inferenza, il Modus Ponens e l’Esemplificazione Universale. Purtroppo non sembra possibile servirsene per stabilire altri risultati. Si potrebbe essere tentati, per esempio, di argomentare a favore della validità non convenzionale della regola di Aggiunzione (o introduzione della congiunzione). L’argomento procederebbe in questo modo: la convenzione in questione sarebbe qualcosa del tipo se A è asseribile e B è asseribile, allora (A & B) è asseribile, ma per poterla applicare e inferire un esempio particolare di (A & B) da due precedenti asserzioni di A e di B si dovrebbe usare proprio una forma di Aggiunzione per inferire la premessa, A è asseribile e B è asseribile, dai suoi due congiunti. Quest’argomento, però, sarebbe errato, perché la regola dell’Aggiunzione, che si suppone convenzionale, non dev’essere necessariamente formulata con un antecedente in forma congiuntiva: se A è asseribile, allora se B è asseribile, (A & B) è asseribile andrebbe bene ugualmente, e le regole quineane di Esemplificazione e Modus Ponens sarebbero sufficienti per derivare da questa formulazione esemplificazioni particolari di Aggiunzione. La questione si può generalizzare in questi termini: le regole di Quine corrispondono alle regole dei sistemi formali elementari di Smullyan19 e quindi sono sufficienti per derivare qualsiasi insieme ricorsivo numerabile di inferenze particolari.

  • 20 Nelson 1949. L’assenza di una regola logica per dimostrare le negazioni è compensata da assiomi mat (...)
  • 21 Ho imparato questo modo di concepire le logiche – come descrizioni di domini di proposizioni su cui (...)

14Si possono comunque trovare esempi più raffinati della connessione fra convenzioni e vincoli platonici. Inizierò con un esempio dalla logica intuizionista (costruttivista), dato che è facile da descrivere. L’operatore di negazione della comune logica intuizionista formulata da Heyting soddisfa alcune regole logiche della logica classica, ma non tutte: alcuni ma non tutti i principi di De Morgan sono validi, si può usare la Reductio ad Absurdum per dimostrare enunciati in forma negativa ma non si può usare la Prova Indiretta per stabilire conclusioni positive, la regola di Ex Falso Quodlibet è valida ma non si può in generale inferire una proposizione dalla sua doppia negazione. Esiste tuttavia un’altra logica intuizionista, definita da David Nelson20. La logica di Nelson coincide con quella di Heyting per le argomentazioni che non coinvolgono la negazione, ma le regole per la negazione sono differenti: tutte le regole di De Morgan (e i loro analoghi quantificazionali) sono valide, e una proposizione è sempre equivalente alla sua doppia negazione. L’Ex Falso Quodlibet continua a valere, ma la Reductio non è più valida nella logica di Nelson. Almeno nelle applicazioni alla teoria dei numeri, le due logiche dovrebbero essere ugualmente accettabili per un intuizionista: Nelson ha fornito un insieme di assiomi per l’aritmetica in un linguaggio con il suo operatore di negazione, e il sistema complessivo – logica più assiomi aritmetici – è equivalente per definizione all’aritmetica di Heyting. Quindi gli intuizionisti devono scegliere fra due diverse logiche della negazione: l’uso di una piuttosto che dell’altra nel formulare la teoria dei numeri intuizionista è una questione convenzionale. Ciò non vuol dire, però, che la logica della negazione sia interamente convenzionale da un punto di vista intuizionista, poiché ci sono altri insiemi di regole logiche – in particolare, la logica classica nella sua interezza – che non sono disponibili all’intuizionista. Un linguaggio logico, e in particolare il suo operatore di negazione, è accettabile solo se rispetta la struttura del dominio di proposizioni che si vuole esprimere con quel linguaggio, in questo caso le proposizioni della teoria dei numeri intuizionista. Ancora più in particolare, se la logica ha un operatore di negazione con certe proprietà, ci deve essere un senso di negazione esprimibile mediante quell’operatore: ci deve essere una funzione che faccia corrispondere ogni proposizione nel dominio a una proposizione il cui ruolo nello schema complessivo delle relazioni di implicazione definite sul dominio stesso sia descritto dalle regole della logica. Sia la negazione di Heyting sia quella di Nelson soddisfano questa condizione. Nel caso di Heyting ciò si deve al fatto che per ogni proposizione P della teoria dei numeri intuizionista se ne può trovare un’altra, h(P), con le seguenti proprietà: (i) se P è la disgiunzione di due proposizioni Q e R (cioè il loro minimo confine superiore rispetto alla relazione di implicazione), allora h(P) implica sia h(Q) sia h(R) (e analogamente per gli altri principi di De Morgan validi nella logica di Heyting); (ii) se P in congiunzione con certe altre proposizioni implica l’assurdo, allora h(P) segue direttamente da quelle proposizioni; e (iii) P in congiunzione con h(P) implica l’assurdo. A sua volta, la negazione di Nelson è accettabile perché c’è un’altra funzione definita sul dominio delle proposizioni, n, tale che P e n(P) soddisfano proprietà analoghe a (i)-(iii) descritte nei termini delle regole della logica di Nelson. La negazione classica, invece, non è accettabile perché il dominio delle proposizioni non è chiuso sotto l’operazione di negazione classica: non c’è alcuna funzione c sul dominio delle proposizioni della teoria dei numeri intuizionista che associ ciascuna proposizione a una proposizione che si comporta come la sua negazione classica. Può essere possibile discutere proposizioni intuizioniste in un linguaggio con un operatore di negazione classico: uno storico potrà dire che non si è ancora riusciti a fornire una dimostrazione costruttiva di una certa proposizione appartenente alla teoria dei numeri, e un matematico classico, per il quale l’insieme infinito di tutte le dimostrazioni costruttive esiste nella sua completa totalità (diversamente da quanto pensano gli stessi intuizionisti), potrà formulare la congettura secondo cui quella proposizione non è dimostrabile in modo costruttivo. Tuttavia queste negazioni classiche non esprimono proposizioni intuizioniste: non vi è alcun modo di trovare una proposizione nella teoria dei numeri intuizionista che risulti vera se e solo se è vera la tesi dello storico o la congettura del matematico classico21.

  • 22 Sulla logica libera si vedano gli articoli classici raccolti in Bencivenga 1976; per le questioni d (...)

15Di primo acchito potrebbe sembrare che nella logica classica non ci siano esempi di questo fenomeno se non in un senso banale, come la scelta tra un’operatore di disgiunzione inclusivo e uno esclusivo. Così però si trascura il fatto che – anche se assumiamo le preferenze matematiche classiche e le pendenze metafisiche di stampo realista normalmente associate alla logica classica – la scelta del dominio di proposizioni che il nostro linguaggio logico deve esprimere non è preordinata. Le comuni versioni della logica classica del prim’ordine che troviamo in un tipico libro di testo considerano come valide le inferenze da ∀x(Fx) a ∃x(Fx) e da Fa (dove “a” è una costante individuale) a ∃x(Fx), e queste inferenze incorporano rispettivamente l’assunzione per cui il dominio su cui spaziano le variabili quantificate non sia vuoto e l’assunzione per cui ogni costante individuale nel linguaggio denoti un “esistente”, cioè un oggetto appartenente all’ambito di quantificazione delle variabili. Tuttavia queste assunzioni hanno l’effetto di introdurre una limitazione sui domini di proposizioni per i quali il sistema logico in questione risulta appropriato. Nella maggior parte dei casi si tratta di una limitazione innocua: nelle applicazioni matematiche della logica, per esempio, le formule logiche sono usate per esprimere proposizioni che riguardano strutture che da un punto di vista matematico non sono vuote per ipotesi, e le costanti individuali della notazione logica vengono interpretate come corrispondenti a notazioni matematiche definite in queste strutture. Ci possono però essere svariati motivi – matematici e non – per voler considerare applicazioni dei metodi della logica formale che non soddisfano tali condizioni, o quantomeno non è richiesto che le soddisfino. Per esempio, ammettere la possibilità di un dominio vuoto può essere utile in connessione con le notazioni tipizzate, dove si intende che variabili di tipo diverso spaziano su domini differenti, e una logica con “termini singolari non denotanti” può essere utile nell’analisi di una teoria matematica con funzioni parziali. La logica adatta per descrivere domini di proposizioni siffatti dovrà essere, non la comune versione della logica classica, ma una qualche versione di logica libera22.

  • 23 Tecniche come le supervalutazioni permettono l’uso di una logica formalmente classica nell’analisi (...)

16La logica classica, sebbene permetta altre interpretazioni, è tipicamente associata alla bivalenza: l’assunzione in base alla quale ogni enunciato nel linguaggio logico esprime una proposizione che possiede uno dei due valori di verità (verità e falsità). Questa è chiaramente una restrizione sul dominio di proposizioni a cui si applica, e vi sono molti esempi di domini di proposizioni non bivalenti: le proposizioni espresse da linguaggi in cui è possibile formulare enunciati contingenti che riguardano il futuro, o da linguaggi autoreferenziali nei quali possono insorgere paradossi semantici, o da linguaggi naturali i cui predicati non sono definiti con precisione, o persino da linguaggi che contengono termini singolari non denotanti (almeno secondo certe interpretazioni). Un interesse in uno o più esempi di questo genere, e quindi l’interesse per un linguaggio logico adatto a un dominio di proposizioni di cui non tutte hanno uno dei due valori di verità, è compatibile con un impegno filosofico di stampo marcatamente realista, cioè con forme molto forti di platonismo. Pertanto l’accettazione di una logica che differisce da quella classica anche nella sua parte non quantificazionale, in quanto più adatta per certe applicazioni, non deve per forza essere associata al tipo di non-realismo illustrato dall’intuizionismo in filosofia della matematica23.

  • 24 Nelson fu uno studente di Kleene, e sembrerebbe che la sua variante della logica intuizionista sia (...)

17Per certe applicazioni si potrebbe quindi voler usare una logica trivalente, la cui interpretazione più naturale prevede che le proposizioni possano essere vere, false o … altro. Ci sono molte logiche di questo tipo, con proprietà diverse che possono risultare convenienti in contesti diversi: per esempio quella di Kleene, che ha proprietà monotoniche che sono utili per le definizioni induttive, oppure quella di Lukasiewicz, che è più espressiva in quanto ha un connettivo di implicazione che è assente nella logica di Kleene. La scelta della logica dipende dalla natura dell’applicazione (e in particolare dal dominio di proposizioni che si vuole rappresentare con le formule logiche). Il menu delle scelte, però, non è illimitato. L’inferenza da ∀x(AFx) ad A x(Fx) (dove la variabile x non occorre in A) viene rifiutata nella logica intuizionista mentre è valida in quella classica, dove esprime l’assunzione per cui esiste una gamma ben precisa di proposizioni che attribuiscono F agli oggetti nell’ambito della variabile quantificata, ognuna delle quali è o vera o falsa, e dove la quantificazione universale è in effetti una proposizione congiuntiva infinitaria. Abbiamo la scelta di includerla o meno nella logica trivalente per cui abbiamo optato? La nostra libertà a questo riguardo è condizionata dagli altri impegni che abbiamo preso. Non sorprende che se ragionassimo intuizionisticamente sui tre valori di verità, non la includeremmo24. Se però ci muoviamo in un’ottica realista rispetto alle proposizioni trivalenti, come ho sostenuto che si possa fare, allora non c’è scelta: l’inferenza è semplicemente valida nel momento in cui le quantificazioni universali vengono intese come congiunzioni di insiemi di proposizioni indicizzate dagli oggetti nel dominio di quantificazione.

  • 25 Cfr. C.I. Lewis 1921 e 1932. Il primo scritto, in particolare, refuta la tesi secondo cui si potreb (...)
  • 26 Lewis e Langford 1932: 257 (il passo citato si trova in un capitolo che, stando alla prefazione, fu (...)

18Il punto di vista sulla logica che ho difeso in queste pagine non è forse del tutto diverso da quello difeso negli anni Venti dal filosofo americano C.I. Lewis. In diverse pubblicazioni25, Lewis insiste sull’esistenza di una molteplicità di logiche, enfatizzando che queste rappresentano a tutti gli effetti opzioni alternative e argomentando che la scelta deve essere fatta su basi pragmatiche. Questo convenzionalismo, però, era bilanciato dal riconoscimento che la logica è in un certo modo descrittiva. Anche in un trattato che descrive lo stato della logica formale alla fine delle intense ricerche del primo terzo del xx secolo26 Lewis proclama che «ci sono delle alternative per ciò che concerne il canone dell’inferenza» ma continua subito dopo spiegando in che senso ciò è vero:

I fatti che si riassumono in un sistema, e le relazioni fra questi fatti, non sono creati dal sistema, né dipendono dai processi inferenziali da cui il sistema si sviluppa. La geometria non attese Euclide, così come la logica non dovette attendere Aristotele. Le inferenze e gli altri mezzi di costruire un sistema determinano dei segnaposti, disegnano delle mappe, ma non creano la loro geografia. E ciò è vero persino dei fatti logici. Non possiamo “correlarli in certi modi”: o sono correlati in quei modi, o non lo sono. Possiamo solo selezionare alcune relazioni come nostre linee guida.

19Questa è una visione interamente platonica delle proposizioni e delle loro relazioni, ma il paragrafo continua così:

20È nondimeno importante rendersi conto che vi sono alternative reali nell’operare tali selezioni fra le relazioni e fra i tipi di ordine che di conseguenza vengono impiegati. E nella misura in cui tale scelta è possibile, il risultato della nostra costruzione di un sistema risponde a criteri pragmatici che giacciono ben al di fuori di ogni questione di verità assoluta.

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Bibliografia

Aczel, P.

– 1988, Non-well-founded Sets, Stanford, CSLI

Barwise, J. e Etchemendy, J.

– 1987, The Liar: An Essay on Truth and Circular Propositions, Oxford, Oxford University Press

Bencivenga, E.

– 1976 (a c. di), Le logiche libere, Torino, Boringhieri

Boolos, G.

– 1971, The Iterative Conception of Set, “Journal of Philosophy”, 68: 215-231

Cohen, P.J.

1963, The Independence of the Continuum Hypothesis, “Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America”, 50: 1143–1148

Feferman, S. et al.

– 1990 (a c. di), Kurt Gödel: Collected Works, Vol. II, New York-Oxford, Oxford University Press

– 1995 (a c. di), Kurt Gödel: Collected Works, Vol. III, New York-Oxford, Oxford University Press

Fine, K.

– 1981, First-order Modal Theories, I: Sets, “Nôus”, 15: 177-205

Gödel, K.

– 1947, What Is Cantor’s Continuum Hypothesis?, “American Mathematical Monthly”, 54: 515-525, con errata in ivi 55: 151; rist. in Feferman et al., 1990

– 1995, Is Mathematics Syntax of Language?, in Feferman et al., 1995: 334-355, 356-362

Hatcher, W.S.

– 1982, The Logical Foundations of Mathematics, Oxford, Pergamon

Hooker, C.

– 1975 (a c. di), The Logico-Algebraic Approach to Quantum Mechanics, Dordrecht, Reidel

Koellner, P.

– 2006, On the Question of Absolute Undecidability, “Philosophia Mathematica” (Serie III), 14: 153-187

Lambert, K.

– 1991 (a c. di), Philosophical Applications of Free Logic, Oxford, Oxford University Press

Lewis, C.I.

– 1921, The Structure of Logic and Its Relation to Other Systems, “Journal of Philosophy”, 18: 505-516

– 1932, Alternative Systems of Logic, “Monist”, 42: 481-507

Lewis, C.I. e Langford, C.H.

– 1932, Symbolic Logic, New York-London, The Century Company

Lewis, D.K.

– 1969, Convention: A Philosophical Study, Cambridge (Mass.), Harvard University Press; La convenzione: studio filosofico, tr. it di G. Usberti, Milano, Bompiani, 1974

– 1983, New Work for a Theory of Universals, “Australasian Journal of Philosophy”, 61: 434-477

– 1991, Parts of Classes, Oxford, Blackwell

Mancuso, P.

– 2007, Harvard, 1940-1941: Tarski, Carnap and Quine on a Finitistic Language of Mathematics for Science, “History and Philosophy of Logic”, 26: 327-357

Nelson, D.

– 1949, Constructible Falsity, “Journal of Symbolic Logic”, 14: 16-26

Quine, W.V.O.

– 1936, Truth by Convention, in Philosophical Essays for Alfred North Whitehead, New York-London, Longmans, Green: 90-124; Verità per convenzione, tr. it. di M. Santambrogio, in W.V.O. Quine, I modi del paradosso e altri saggi, Milano, il Saggiatore, 1975: 141-170

– 1956, Unification of Universes in Set Theory, “Journal of Symbolic Logic”, 21: 267-279

– 1963, Set Theory and Its Logic, Cambridge (Mass.), Harvard University Press

Schilpp, P.A.

1963 (a c. di), The Philosophy of Rudolf Carnap, La Salle, Open Court; La filosofia di Rudolf Carnap, ed. it. a c. di M.G. de Cristofaro Sandrini, Milano, il Saggiatore, 1974

Smullyan, R.M.

– 1961, Theory of Formal Systems, Princeton, Princeton University Press

Van Aken, J.

– 1986, Axioms for the Set-theoretic Hierarchy, “Journal of Symbolic Logic”, 51: 992-1004

Van Fraassen, B.

– 1974, The Labyrinth of Quantum Logic, in R. Cohen e M. Wartofsky (a c. di), Logical and Epistemological Problems in Contemporary Physics, Dordrecht, Reidel: 224-254

– 1975, Semantic Analysis of Quantum Logic, in C. Hooker (a c. di), Contemporary Research in the Foundations and Philosophy of Quantum Theory, Dordrecht, Reidel: 80-113

Zermelo, E.

– 1908, Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, “Mathematische Annalen”, 65: 261-281

– 1930, Über Grenzzahlen und Mengenbereiche, “Fundamenta Mathematica”, 16: 29-47

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Note

2 Gödel 1995, scritto per il volume collettaneo Schilpp 1963 ma poi non incluso nel volume; due bozze sono state sucessivamente pubblicate in Feferman et al. 1995.

3 Lewis 1969.

4 Ad esempio, gli organismi unicellulari della famiglia Streblomastygidae. Cfr. http://www.palaeos.com/Eukarya/Units/Metamonada/Oxymonadida/Oxymonadidae.html [link non raggiungibile 12/04/2017].

5 Mancuso 2007.

6 I matematici erano consapevoli di questa concezione già da diversi anni. È centrale in Zermelo 1930 e portò Gödel a descrivere la teoria degli insiemi di Zermelo come «nient’altro che una naturale generalizzazione della teoria dei tipi o, piuttosto, è ciò che la teoria dei tipi diventa se si rimuovono certe restrizioni superflue» in una lezione del 1933 (pubblicata per la prima volta in Feferman et al. 1995; la citazione è a p. 46). La diffusione della concezione iterativa nella comunità filosofica fu graduale. Gödel ne diede una descrizione molto breve in Gödel 1947. Quine giunse indipendentemente all’intuizione di Gödel in base alla quale la teoria di Zermelo può essere vista come una liberalizzazione della teoria semplice dei tipi in Quine 1956 e la incluse nel confronto dei diversi sistemi in Quine 1963. Forse il singolo evento più importante nella diffusione della concezione iterativa all’interno della comunità filosofica fu la pubblicazione di Boolos 1971. David Lewis ne diede una spiegazione leggermente non-standard ed esplicitamente metafisica nella parte centrale di Lewis 1991 (sebbene il tono metafisico risulti smorzato nell’appendice, che ha un taglio più “strutturalista”).

7 Fine 1981.

8 Van Aken 1986.

9 Nella terminologia della concezione iterativa, l’assioma di fondazione corrisponde all’idea per cui gli “stadi” successivi in cui si “formano” gli insiemi sono ben ordinati: gli stadi corrispondono ai ranghi ordinali degli insiemi. Nel leggere l’articolo di Van Aken si ha l’impressione che sia quasi una magia come questo risultato discenda da assunzioni che sembrano menzionare soltanto un ordinamento lineare degli stadi.

10 Zermelo 1908. La forma moderna degli assiomi ha origine con Zermelo 1930, sebbene l’idea possa farsi risalire a un precedente lavoro di Mirimanoff e Von Neumann.

11 Quine 1963: 285.

12 Ovviamente vera perché così vuole la concezione iterativa. Questa è una tesi più forte dell’affermazione per cui l’assioma di fondazione è ovviamente consistente (anche se è abbastanza facile dimostrare la consistenza relativa di ZF con l’assioma di fondazione rispetto a quella di ZF senza l’assioma).

13 La proposta fu avanzata in Aczel 1988. Questa monografia delinea la dimostrazione (facile) del fatto che, come con l’assioma di fondazione, AFA può essere aggiunto in modo coerente a ZF (posto che il sistema di base sia coerente) e paragona AFA ad alcuni assiomi alternativi proposti in precedenza. Altrettanto importante, in termini di impatto per la comunità filosofica in generale, è che la teoria di Aczel venne descritta un anno prima nel libro di Barwise e Etchemendy 1987, che contiene sia un capitolo espositivo della teoria sia argomenti a favore della sua utilità applicativa in ambito semantico.

14 Esiste un resoconto accessibile e filosoficamente sensibile di questo lavoro in Koellner 2006.

15 Per una introduzione accessibile ai concetti della teoria delle categorie e una descrizione della teoria (del prim’ordine) della categoria degli insiemi di Lawvere, CS, si veda l’ultimo capitolo di Hatcher 1982.

16 Cfr Lewis 1983.

17 Quine 1963: 215.

18 Cfr. Quine 1936 e Gödel 1995.

19 Cfr. Smullyan 1961. Un sistema formale elementare è dato da un numero finito di predicati (che prendono come argomenti variabili e citazioni di stringhe di simboli da un alfabeto fissato) e un numero finito di assiomi, ciascuno dei quali è o una formula atomica o un condizionale innestato (associato da destra) in cui le variabili vanno intese come quantificate universalmente. Un insieme di (o una relazione definita su) stringhe di simboli è ricorsivamente enumerabile solo se esiste qualche predicato di qualche sistema formale elementare tale che i membri dell’insieme sono precisamente le stringhe di simboli per cui la formula atomica che applica il predicato alla stringa è deducibile dagli assiomi mediante Esemplificazione e Modus Ponens. Questo è forse il modo più elegante e intuitivo di definire l’enumerabilità ricorsiva; Smullyan ne parla come di una modifica della forma normale di Post.

20 Nelson 1949. L’assenza di una regola logica per dimostrare le negazioni è compensata da assiomi matematici che permettono la dimostrazione di enunciati atomici negati. Ho ristretto alla teoria dei numeri la mia tesi dell’accettabilità intuizionistica della logica di Nelson proprio perché in altre branche della matematica la scelta di analoghi principi matematici per la negazione non è ovvia: sembra infatti che l’applicazione di questa logica in altri campi non sia univocamente determinata.

21 Ho imparato questo modo di concepire le logiche – come descrizioni di domini di proposizioni su cui sono definite delle relazioni di implicazione intrinseche, accettabili solo se il dominio è chiuso sotto funzioni che corrispondono agli operatori della logica – dagli scritti di Bas Van Fraassen sulla logica quantistica (Van Fraassen 1974 e 1975). Anche il suggerimento nel prossimo paragrafo, per cui logiche differenti possono descrivere parti più o meno estese di tale dominio, proviene da Van Fraassen.

22 Sulla logica libera si vedano gli articoli classici raccolti in Bencivenga 1976; per le questioni di fondo e le applicazioni si vedano invece i saggi in Lambert 1991.

23 Tecniche come le supervalutazioni permettono l’uso di una logica formalmente classica nell’analisi di domini non bivalenti di proposizioni. È importante sottolineare, comunque, che tali tecniche non sono le uniche disponibili.

24 Nelson fu uno studente di Kleene, e sembrerebbe che la sua variante della logica intuizionista sia stata motivata dal desiderio di esprimere il contenuto della matematica intuizionista usando un operatore di negazione simile a quello della logica trivalente di Kleene.

25 Cfr. C.I. Lewis 1921 e 1932. Il primo scritto, in particolare, refuta la tesi secondo cui si potrebbero identificare le verità dell’unica “vera e propria” logica con quelle proposizioni che sono logicamente implicate dalle loro negazioni, mostrando con l’ausilio di un interessante sistema assiomatico che anche altre logiche possono godere di questa stessa proprietà: i princìpi di queste logiche sono in ciascun caso implicati (nel senso della logica in esame) dalle loro stesse nagazioni.

26 Lewis e Langford 1932: 257 (il passo citato si trova in un capitolo che, stando alla prefazione, fu scritto da Lewis).

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Per citare questo articolo

Notizia bibliografica

Allen P. Hazen, « Platonismo e Convenzioni », Rivista di estetica, 41 | 2009, 171-187.

Notizia bibliografica digitale

Allen P. Hazen, « Platonismo e Convenzioni », Rivista di estetica [Online], 41 | 2009, online dal 30 novembre 2015, consultato il 22 novembre 2017. URL : http://estetica.revues.org/1865 ; DOI : 10.4000/estetica.1865

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