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4. ontologie regionali

4.4. Il Cervino di Varzi: similarità e oggetti vaghi

Giangiacomo Gerla
p. 281-296

Abstract

In the framework of fuzzy logic a definition of vague object is proposed based on the notion of fuzzy equivalence. Indeed, while a crisp object is defined as a “concrete thing” together with an equivalence, I propose to define a vague object as a “concrete thing” together with a fuzzy equivalence.

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Testo integrale

1. Introduzione

1Nella letteratura scientifica, e in particolar modo nella letteratura sugli insiemi fuzzy, la vaghezza viene usualmente vista come una possibile caratteristica dei predicati. Tuttavia si pone il problema se possano esistere anche oggetti che siano vaghi e tale questione viene posta, per esempio, in Varzi 2001. In tale articolo Varzi osserva infatti che, con riferimento alla “cosa” chiamata Cervino, esistono zolle di terreno che appartengono senza alcun dubbio a questa montagna ed esistono zolle che sicuramente non le appartengono. Tuttavia per moltissime zolle è alquanto dubbio se sia possibile asserire o negare tale appartenenza. L’esistenza di tali zolle borderline mostrerebbe indiscutibilmente che quando si parla del Cervino compare in qualche modo il fenomeno della vaghezza.

2Detto questo, la posizione di Varzi è nettamente contro l’idea che il termine “Cervino” denoti un oggetto vago e, più in generale, che possano esistere oggetti vaghi. Egli infatti afferma che:

L’unica nozione di vaghezza che mi è intelligibile è di natura linguistica, o cognitiva in senso lato, e questa corrisponde alla lettura de dicto: la vaghezza risiede cioè nel sistema di rappresentazione, non nel mondo che viene rappresentato. Dire che il referente di un termine non è un oggetto ben determinato – che non ha confini ben definiti – significa dire che il termine designa in modo vago, non che esso designa un oggetto vago. E quale sarebbe quest’oggetto vago? Come avremmo fatto a dargli un nome, se è così evanescente?

3Non sarebbe quindi il Cervino a essere una entità vaga ma è vago il rapporto tra il termine designante “Cervino” e la cosa o, per meglio dire, le cose designate da tale termine. Poiché tali cose sono viste come possibili determinazioni del Cervino, le idee di Varzi si collegano in modo naturale alla teoria delle supervalutazioni.

4Ora, nell’esempio del Cervino in effetti la vaghezza appare a due livelli diversi. Il primo, che è direttamente collegato all’esistenza di zolle borderline, si manifesta nel rapporto tra il Cervino e le proprie zolle e quindi nel predicato “essere una zolla del Cervino”. Questo tipo di vaghezza rientra nella categoria della vaghezza di un predicato e mi sembra avere poco a che fare con la questione della vaghezza di un oggetto.

5In un secondo livello la vaghezza risiede in quello che Varzi ritiene sia il rapporto tra il termine denotante Cervino e le varie montagne che, per esempio, si otterrebbero togliendo o aggiungendo una zolla alla montagna che, in un certo istante, ho chiamato Cervino. Che si condivida o meno tale interpretazione è certo che essa non ha molto a che fare con il fatto che alcune zolle siano borderline. Infatti in questo caso l’espressione “borderline” si applica non alle piccole zolle ma ai diversi enormi agglomerati di terra e roccia che potrebbero essere candidati a essere i denotati dal termine Cervino. D’altra parte questo tipo di vaghezza può essere riscontrata anche negli oggetti dai confini netti, per esempio in una montagna le cui pareti si innalzano verticalmente dalla pianura oppure, come vedremo, nella sedia su cui siamo seduti. Da questo punto di vista sembrerebbe quindi che anche oggetti ritenuti crisp si possano invece considerare vaghi se li si guarda da una particolare angolatura.

6In questa nota, si propone una definizione di “oggetto crisp” e di “oggetto vago” che potrebbe dare conto di tale fenomeno e contribuire a dare una risposta alla domanda di Varzi circa l’esistenza di oggetti vaghi. Tale definizione, se accettata, spingerebbe ad asserire che:

non esiste una reale distinzione tra oggetti vaghi e oggetti crisp e sul tipo di esistenza da assegnare a entrambi

7Cruciale in tale definizione è la messa in gioco della nozione di uguaglianza fuzzy o similarità che a mio parere è il veicolo che porta all’apparizione del fenomeno degli oggetti vaghi.

8Si sottolinea che l’articolo più che avere ambizioni filosofiche vorrebbe fornire alcuni strumenti matematici per tale problematica. Si comincia pertanto col premettere alcune nozioni elementari di logica fuzzy.

2. La nozione di similarità

9Attenendomi a quella che è la scelta più frequente nelle logiche a più valori, nel seguito considererò logiche il cui insieme di valori di verità è l’intervallo U = [0,1] e in cui la congiunzione è interpretata da una norma triangolare continua, cioè un’operazione in U che sia continua, commutativa, associativa, crescente e con 1 come elemento neutro. Come interpretazione dell’implicazione viene considerato il relativo residuo →, definito dal porre

λ →μ = max{zU : λz≤μ }

10Una caratteristica di tale operazione è che l→m è uguale a 1 se e solo se l≤m e ciò comporta che asserire una implicazione equivale ad asserire che l’antecedente ha un valore di verità inferiore al conseguente. La negazione è interpretata dall’operazione ~(l) = l→0, l’equivalenza dall’operazione ↔ definita ponendo l↔m = (l →m)(m→l). I seguenti, sono gli esempi più comuni di norme triangolari

λμ = min{λ, μ} ; λμ = max+μ-1,0} ; λy = lm

che prendono il nome di norma del minimo, norma di Łukasiewicz, norma del prodotto, rispettivamente.

  • 1  Per dettagli si veda per esempio Gerla 2001.

11Dato un insieme non vuoto D, chiamiamo sottoinsieme fuzzy una funzione s : D U. Diciamo che s è crisp se s(x) {0,1} per ogni xD. Dato un sottoinsieme X di D, la sua funzione caratteristica cX è definita dal porre cX(x) =1 se xX e cX(x) = 0 altrimenti. È evidente che possiamo identificare i sottoinsiemi di X con le relative funzioni caratteristiche e quindi con i sottoinsiemi fuzzy crisp. In tale senso la teoria degli insiemi fuzzy estende la teoria degli insiemi classici. Chiamiamo relazione fuzzy ogni sottoinsieme fuzzy di un prodotto cartesiano. Una interpretazione fuzzy in un linguaggio del primo ordine si ottiene fissando un dominio D e interpretando ogni nome di predicato n-ario con una relazione fuzzy n-aria, cioè una funzione r : Dn U. Le costanti e i nomi di funzioni vengono interpretate come nella logica classica. Una valutazione delle formule si ottiene in modo vero-funzionale al solito modo tenendo conto delle operazioni in U che interpretano i connettivi logici e interpretando i quantificatori ed $ con l’estremo inferiore e l’estremo superiore, rispettivamente1. Diciamo che una interpretazione verifica una formula a se valuta 1 tale formula.

12Una delle relazioni più interessanti in logica fuzzy è quella di “similarità” o, se si vuole, di “equivalenza fuzzy” che spesso gioca il ruolo giocato dall’uguaglianza nella logica classica.

Definizione 2.1. Chiamiamo similarità o equivalenza fuzzy in un dominio D ogni relazione fuzzy in D che soddisfi gli assiomi

A1 xE(x,x) (riflessività)

A2 xy((E(x,y) E(y,x)) (simmetria)

A3 xyz((E(x,y)E(y,z)) E(x,z)) (transitività)

 

in una logica a più valori.

È immediato verificare che una relazione fuzzy e : D×DU in D, è una similarità se e solo se verifica le seguenti proprietà

e(x,x) = 1 (proprietà riflessiva)

e(x,y) ≤ e(y,x) (proprietà simmetrica)

e(x,y)e(y,z) ≤ e(x,z) (proprietà transitiva)

13Le similarità crisp coincidono con le (funzioni caratteristiche delle) relazioni di equivalenza. Tale nozione è in un certo senso duale a quella di distanza. Infatti è intuitivo che più due oggetti sono vicini più sono da considerare simili. È importante sottolineare il ruolo della norma triangolare nella proprietà transitiva. Più grandi sono i valori che assume una norma, più forte è il ruolo della transitività. Assumiamo per esempio che e(x,y) = e(y,z) = 0.5, allora se è la norma del minimo la transitività impone che e(x,z) ≥ 0.5, se è la norma del prodotto allora impone che e(x,z) ≥ 0.25, se è la norma di Łukasiewicz, deve essere e(x,z) ≥ 0, cioè non viene imposto nessun constraint al valore di e(x,z).

14Non è difficile trovare esempi di similarità. Una prima via, che si potrebbe dire di carattere logico, è legata al principio degli indiscernibili di Leibniz il quale afferma che due oggetti sono identici se e solo se tutto ciò che si può dire di uno può essere detto anche dell’altro. Infatti si può relativizzare tale principio a un dato insieme di proprietà che si ritengono rilevanti e prenderlo come un modo per definire una equivalenza. Per esempio, riferendoci a un dato insieme di persone, possiamo concentrarci sul sesso, sull’essere laureati e sull’essere maggiorenni e quindi chiamare equivalenti due persone che non sono discernibili rispetto tali proprietà. Detto più in generale, se A1, …, An sono le proprietà che si considerano rilevanti, allora ponendo

E(x,y) ≡ (A1(x)A1(y))(An(x)An(y)) (2.1)

si ottiene una formula che, come si verifica facilmente, definisce una relazione di equivalenza. Interpretando la stessa formula in una logica a più valori, otteniamo la seguente definizione.

Teorema 2.2. Siano A1, …, An predicati monadici, allora l’interpretazione del predicato E definito in (2.1) in una logica fuzzy è una similarità.

15Se a1, …, an sono gli insiemi fuzzy che interpretano A1, …, An ed e : D×DU è l’interpretazione di E, allora risulta

e(x,y) = (a1(x)↔a1(y))(an(x)↔an(y)) (2.2)

16Il numero e(x,y) è il grado di verità dell’asserzione “x ed y verificano le stesse proprietà che si ritengono rilevanti”. Da notare che è anche possibile riferirsi a una famiglia (Ai)iA eventualmente infinita di proprietà estendendo opportunamente al caso infinito.

17Un modo diverso di definire una similarità utilizza la nozione di gruppo fuzzy di trasformazioni. Ricordiamo che, dato un insieme non vuoto D, l’insieme Σ(D) delle funzioni invertibili di E in E costituisce un gruppo quando:

– come prodotto si consideri l’usuale composizione o di funzioni;

– come operazione di inverso l’usuale inversione di una funzione;

– come elemento neutro l’applicazione identica i : DD.

18Dato poi un sottogruppo G di Σ(D), viene definita una relazione di equivalenza ≡ in D ponendo

xy gG : g(x) = y

19Per esempio sia G il gruppo delle isometrie del piano euclideo che immaginiamo agire sull’insieme dei triangoli. Allora possiamo chiamare uguali due triangoli se esiste una isometria che trasforma uno nell’altro.

20Viceversa, se ≡ è una relazione d’equivalenza in D, allora l’insieme

G = {hΣ(D) : x h(x) per ogni xD}

di trasformazioni è un sottogruppo del gruppo Σ(D). Per esempio, se abbiamo definita la relazione di uguaglianza tra triangoli in termini metrici, possiamo definire il gruppo delle isometrie come il gruppo delle trasformazioni che portano ogni triangolo in un triangolo uguale.

  • 2  Si veda Gerla 2006.

21Detto questo, non è difficile estendere in ambito fuzzy tale connessione tra gruppi ed equivalenze2. Cominciamo con il definire la nozione astratta di sottogruppo fuzzy dove ci si riferisce a un linguaggio che si ottiene estendendo il linguaggio per la teoria dei gruppi, che contiene le operazioni di moltiplicazione , di inverso -1 e la costante 1, tramite un predicato monadico A.

Definizione 2.3. Un -sottogruppo fuzzy, in breve un gruppo fuzzy

22gruppo fuzzy

A1 A(1)

A2 xy(A(x)A(y) A(xy))

A3 x(A(x) A(x-1))

23È immediato verificare che un -sottogruppo fuzzy è definito da un gruppo G e da un sottoinsieme fuzzy g di G tale che

i) g(1) = 1

ii) g(xy) ≥ g(x)g(y)

iii) g(x) = g(x-1)

24Se G è il gruppo Σ(D) delle trasformazioni in D, allora parleremo di sottogruppo fuzzy di trasformazioni. Per ogni hΣ(S), possiamo interpretare g(h) come grado di ammissibilità (oppure il costo, oppure il tempo di realizzazione o altro) della trasformazione h.

Esempio 1. Possiamo definire il gruppo fuzzy delle traslazioni “piccole” del piano euclideo E al modo seguente. Indichiamo con |τ| l’ampiezza di una traslazione e definiamo g : Σ(E) → U ponendo, per ogni τ Σ(E), g(τ) = 0 se t non è una traslazione e g(τ) = 10-|τ| se τ è una traslazione di ampiezza |τ|. È evidente che se i è l’applicazione identica allora g(i) = 1 e che g(f) = g(f1). Inoltre la diseguaglianza g°τ´) ≥ g(τ)g´) è immediata nel caso in cui τ oppure τ´ non siano traslazioni. Altrimenti basta osservare che per la proprietà triangolare risulta che |τ oτ´| ≤ |τ|+|τ´|, e quindi che 10-|τ°τ´| ≥ 10-|τ|10-|τ´|.

Esempio 2. Definiamo l’insieme fuzzy g : Σ(E)→U di trasformazioni ponendo

g(h) =

{

1 se h è una identità

0.9 se h è una traslazione

0.8 se h è una isometria che non è una traslazione

0.5 se h è una similitudine che non è una isometria

0 in ogni altro caso

25Allora, una semplice verifica per casi mostra che g definisce un -sottogruppo di Σ(E) con norma del minimo.

26Il seguente teorema mostra come ogni sottogruppo fuzzy determini una similarità.

Teorema 2.4. Dato un -sottogruppo fuzzy g : Σ(D) → U del gruppo simmetrico Σ(D), sia e : D×DU la relazione fuzzy definita ponendo

e(x,y) = Sup{g(h) : hS(D), h(x) = y}

27allora e è una -similarità in D.

28Ricordando che il quantificatore esistenziale è interpretato con l’estremo superiore, la similarità e si ottiene come interpretazione in ambiente fuzzy dell’affermazione (del secondo ordine) “esiste una trasformazione in g capace di mutare x in y”.

29Come applicazione di tale teorema consideriamo il gruppo fuzzy delle traslazioni piccole che abbiamo definito nel primo esempio e supponiamo che operi sui triangoli. Allora, dati due triangoli PQR, P´Q´´, abbiamo che e(PQR, P´Q´R´) = 0 se non esiste nessuna traslazione che porta PQR in P´Q´R´ mentre e(PQR, P´Q´R´) = 10-|t| se t è (l’unica) traslazione che porta PQR in P´Q´R´. Supponiamo dunque che un triangolo PQR venga spostato, allora questa similarità ci dice che il triangolo diventa istantaneamente diverso se si effettua una rotazione mentre diventa gradualmente diverso se viene allontanato dalla posizione iniziale tramite traslazioni. Non è difficile modificare questo esempio in modo da accettare come ammissibili anche “piccole” rotazioni di un dato centro.

30Se invece ci riferiamo al secondo esempio, abbiamo che due triangoli avranno un grado di similarità uguale a

– 1 se identici, mentre altrimenti

– 0.9 se esiste una traslazione che porta uno nell’altro, altrimenti

– 0.8 se si trova una isometria che porta uno nell’altro, altrimenti

– 0.5 se si trova una similitudine che porta uno nell’altro, altrimenti

– 0

31Osserviamo che è possibile anche invertire tale teorema al modo seguente.

Teorema 2.5. Sia e una -similarità in S e sia g : Σ(S)→U l’insieme fuzzy di trasformazioni definito ponendo:

g(h) = Inf{e(x,h(x)): xS}

32Allora g è un -sottogruppo fuzzy del gruppo Σ(S).

33Ricordando che il quantificatore universale è interpretato con l’estremo inferiore, il grado di appartenenza della trasformazione h a g si può interpretare come il grado di verità dell’affermazione “h muta ogni elemento in un elemento simile”. Pertanto il sottogruppo fuzzy g viene a essere l’insieme fuzzy delle trasformazioni che mutano elementi in elementi simili.

3. Oggetti crisp, oggetti vaghi e similarità

  • 3  La questione di che cosa sia un oggetto fisico non è banale ed esiste una vasta letteratura in pro (...)

34Questa nota si basa sulla ovvia osservazione per cui nella individuazione di un oggetto è presente sempre anche una “ospite occulta” che non viene mai esplicitata: una qualche nozione di uguaglianza3. Se guardiamo la sedia S che ci è davanti individuiamo un oggetto ma se qualcuno sposta la sedia di un metro, anche dopo lo spostamento non esitiamo a ritenere che essa rimanga esattamente “la stessa” sedia e che il termine S può continuare a essere utilizzato per denotarla. Nel caso che, come matematici, siamo affezionati al punto di vista estensionale, possiamo dire che il termine S denota la classe completa di equivalenza

[s] = {s : s s}

  • 4  In questo modo il termine S ha una sola interpretazione (la classe [s]) e non, contrariamente al p (...)

dove s è la sedia concreta particolare che in un certo istante ho percepito e ≡ è la relazione di equivalenza indotta dal movimento4. Equivalentemente possiamo dire che S denota la coppia costituita da s più l’equivalenza ≡. In accordo con tale esempio possiamo azzardare la seguente definizione:

  • 5  Poiché non si specifica il tipo di equivalenza, tale definizione è abbastanza elastica da essere c (...)

Un oggetto (crisp) è un ccdi (cosa concreta in un dato istante) più un criterio di equivalenza5.

  • 6  In caso contrario, molto meglio di quanto siano capaci di fare i fisici, avrei creato materia dal (...)

35Supponiamo tuttavia che, poiché la sedia che abbiamo davanti non è ben bilanciata, qualcuno decida di accorciare un po’ una sua gamba con una raspa. Si ottiene in questo modo un nuovo ccdi che si può ritenere ancora uguale al ccdi precedente. Il grado di questa uguaglianza, tuttavia, pur essendo prossimo a 1 è sicuramente diverso da 1. In caso contrario non sarebbe difficile produrre il paradosso per cui lavorando man mano di raspa si ottiene una sedia-fantasma che, pur non esistendo più, rimane uguale alla sedia originaria. A questo punto o si ritiene di essere davanti a una nuova sedia, magari cambiandone il nome, oppure si ritiene che sia possibile convivere razionalmente con la vaghezza e accettare un indebolimento della nozione di eguaglianza. Tale tipo di vaghezza non mi sembra di natura diversa da quella, di secondo livello, attribuita al Cervino. Supponiamo che in una passeggiata su tale montagna (ccdi originario) io decida di raccogliere una zolla di terra per poter riempire un vaso. Allora è indiscutibile che quello che rimane è un ccdi diverso da quello originario (una diversa montagna)6. Tuttavia continuo a chiamare Cervino tale nuovo ccdi che quindi considero “uguale” alla montagna che avevo prima. È evidente che la parola uguale in questo caso non rappresenta l’identità e neanche una relazione di equivalenza ma quella che abbiamo chiamato una relazione fuzzy di equivalenza o similarità.

36In definitiva sembra ragionevole la seguente definizione.

Definizione 3.1. Un oggetto è un ccdi più un criterio di equivalenza fuzzy o similarità. L’oggetto viene detto crisp se tale similarità è crisp, vago altrimenti.

37Volendo essere più precisi un oggetto potrebbe essere visto come una terna (D, d, e) con dD ed e similarità in D. Naturalmente questa è, in un certo senso, una definizione-giocattolo che non ha la pretesa di rappresentare completamente un fenomeno tanto complesso come quello della vaghezza di un oggetto. D’altra parte neanche la nozione matematica di punto, che è certamente qualche cosa di più di un giocattolo, corrisponde in modo adeguato alla nozione di punto materiale.

38È anche importante osservare che una tale definizione di oggetto trova un forte riscontro nell’approccio categoriale alla nozione di insieme fuzzy. Per esempio in Novák 1999 viene definita come rappresentativa della teoria degli insiemi fuzzy la categoria degli W-insiemi. Gli oggetti di tale categoria sono le coppie (X,e) dove e è una relazione fuzzy simmetrica e transitiva (non necessariamente riflessiva). La scelta di tale categoria è fortemente motivata dal fatto che si vuole una categoria che sia un topos cioè che abbia proprietà ragionevoli che permettano di riprodurre tutto quanto può essere fatto dalla categoria degli insiemi.

39Nel secondo paragrafo abbiamo visto che esistono vari modi per ottenere una similarità e questo comporta che la definizione 3.1 si traduce in modi diversi di definire un oggetto. Per esempio, possiamo considerare la similarità definita a un dato insieme di proprietà considerate rilevanti. In questo caso un oggetto vago rimane se stesso durante una eventuale trasformazione in relazione al conservarsi o meno delle proprietà rilevanti. Si potrebbe allora anche proporre la seguente definizione:

Definizione 3.2. Un oggetto è un ccdi più un insieme di proprietà che si considerano rilevanti. Se le proprietà sono vaghe l’oggetto si dice vago, altrimenti si dice crisp.

40Nel caso del Cervino potrei considerare rilevante le proprietà “essere pulito” o “essere silenzioso” o altre ancora. Queste proprietà sono scalfite solo per un milionesimo dal fatto che manchi a meno qualche zolla. Se invece confronto un Cervino immacolato che ho conosciuto in passato con un Cervino invaso da una busta di plastica che mi è davanti, sono autorizzato a dire “non esiste più il Cervino di una volta” o, in maniera più sofisticata “il Cervino di una volta ha un grado di similarità nullo con il Cervino che mi sta davanti”.

  • 7  Evans 1978.

41Da notare che tale modo di definire gli oggetti è una risposta possibile all’argomentazione di G. Evans circa l’impossibilità che possa esistere una uguaglianza di tipo vago tra due oggetti7. Questa obiezione se valida ovviamente invaliderebbe la definizione di oggetto vago che abbiamo proposto. Il discorso di Evans è il seguente. Indichiamo con Vago(a = b) l’asserzione per cui l’uguaglianza tra a e b è vaga (noi diremmo che, interpretando con e una relazione di uguaglianza vaga allora e(a,b) è diverso da 0 e 1) e accettiamo la verità di tale asserzione. Allora la proprietà B(x) ≡ Vago(x=b) si applica ad a mentre che non è applicabile a b. Pertanto a e b verificano proprietà diverse e, per il principio degli indiscernibili di Leibniz, ciò comporta che a e b sono diversi tra loro. Ma tale conclusione comporta che Vago(a=b) è falsa. Tale argomentazione costituirebbe una dimostrazione per assurdo di ¬Vago(a=b) e quindi che non può esistere una uguaglianza vaga. Ora, supponiamo di riferirci a una uguaglianza “approssimata” E definita dalle proprietà A1, …, An e supponiamo che e(a,b) = 0.5, allora se denotiamo con B(x) la proprietà Vago(E(x,b)) la formula B(x) risulta totalmente falsa per b mentre è totalmente vera per a. Pertanto se tra le proprietà Ai ci fosse B(x), ciò comporterebbe che e(a,b) = 0 fosse in contrasto con le ipotesi. Tutto ciò non è affatto assurdo ma proverebbe solo che B(x) non è tra le proprietà con cui si è definita e, cosa questa abbastanza prevedibile.

42Un altro modo di definire una similarità è, come abbiamo visto, tramite la nozione di gruppo fuzzy di trasformazioni. Si potrebbe allora considerare la seguente definizione.

Definizione 3.3. Un oggetto è un ccdi più un gruppo fuzzy di trasformazioni ammissibili per ccdi. Tale oggetto viene detto crisp o vago a seconda se tale sottogruppo è crisp o vago.

43Nel caso della sedia crisp si deve coinvolgere il gruppo dei movimenti rigidi. Nel caso della sedia vaga è necessario considerare il gruppo fuzzy delle trasformazioni ottenibili con colpi di raspa (gruppo che non sarebbe difficile definire). La stessa cosa può essere detta per il Cervino vago.

44Arriviamo infine al convincimento di Varzi che la vaghezza sia in realtà la vaghezza della relazione tra termine denotante e denotato. Se vogliamo confrontare questo punto di vista con la definizione che abbiamo proposto di oggetto vago potremmo tentare di definire una relazione di similarità opportuna. L’idea è che siano da considerare simili due elementi di D che hanno gli stessi nomi nel linguaggio in considerazione. Per precisare tale idea, dobbiamo abbandonare l’approccio usuale in logica a più valori in cui una costante è interpretata con un elemento del dominio e accettare che anche l’interpretazione delle costanti possa essere vaga. Ciò significa che se C denota l’insieme dei termini del linguaggio, una interpretazione dei termini sia rappresentata da una relazione vaga i : C×D U. Il valore i(c,d) è il grado con cui è lecito considerare d come interpretazione di c. Se consideriamo l’insieme fuzzy ic definito dall’equazione ic(x) = i(c,x), allora ic è l’insieme fuzzy degli elementi che sono interpretazione di c o, se si vuole, l’estensione della proprietà “x è una interpretazione di c”, proprietà che indichiamo con Ac(x). Ciò suggerisce la seguente definizione.

Definizione 3.4. Sia C = {c1, …, cn} l’insieme dei termini di un linguaggio, D un dominio e i : C×DU una interpretazione vaga, allora chiamiamo omonimia associata all’interpretazione i la similarità associata all’insieme (Ac)cC di predicati, cioè la fuzzy relazione e ottenuta ponendo

e(x,) = cC(ic(x) ↔ic())

45Tale equazione definisce appunto e(x,) come il grado di verità dell’affermazione “comunque si scelga un termine c, x è interpretazione di c se e solo è una interpretazione di c”. Da notare che se chiamiamo “senza nome” un elemento xD tale che i(c,x) = 0 per ogni cC, con tale definizione due oggetti che non hanno nomi vengono considerati equivalenti. Detto in un altro modo, posso considerare diversi tra loro due elementi solo se attribuisco loro dei nomi (ovviamente diversi).

Definizione 3.5. Sia C = {c1, …, cn} l’insieme dei termini di un linguaggio, D un dominio e i : C×DU una interpretazione vaga, allora un oggetto è un ccdi più la relazione di omonimia associata all’interpretazione.

46Se se ne accetta l’adeguatezza, tale definizione mostra che l’idea di Varzi per cui la vaghezza risiede nel rapporto tra denotante e denotato può essere riformulata nei termini proposti in questa nota. Nel fare questo, essa evidenzia che quella di Varzi potrebbe essere solo una delle possibili proposte, quella in cui il linguaggio gioca un ruolo esclusivo. D’altra parte questo ruolo è coerente con l’interpretazione de dicto della vaghezza. Il riferimento invece ad altre possibili similarità ha il pregio di evidenziare che l’idea di oggetto è legata a una più generale capacità di cogliere la similarità o, se si vuole, l’invarianza, senza che questa capacità sia legata necessariamente al linguaggio. a me sembra infatti che tale capacità sia una componente essenziale dell’intelligenza di ogni essere vivente che esso abbia o meno capacità linguistiche. Anche un cagnolino si rapporta agli oggetti ogni istante: siano tali oggetti crisp come la pallina con cui gioca, siano essi vaghi come il cibo nella ciotola che man mano viene mangiato.

4. Oggetti in matematica e supervalutazionismo

47È interessante osservare che la definizione che abbiamo proposto di oggetto è abbastanza usuale perfino in matematica.

48Consideriamo un semplice esempio di oggetto matematico: il numero razionale 4/6. La prima cosa che impariamo a scuola è che tale numero è identico a 2/3 oppure a 600/900 oppure a infinite altre frazioni. Questo fatto è alla base della definizione del campo dei razionali che viene riportata nei libri universitari di matematica, definizione che ricordiamo brevemente.

1. Si parte dall’insieme Z×(Z-{0}) di coppie (n,m) di numeri interi relativi con m ≠0;

2. si definiscono in Z×(Z-{0}) due operazioni + e ponendo (n,m)+(p,q) = (nq+mp, mq); (n,m) (p,q) = (np, mq);

3. si definisce nell’insieme delle frazioni Z×(Z-{0}) una relazione di equivalenza ≡ ponendo (n,m) ≡ (,) se e solo se n= m;

  • 8  Tale richiesta è essenziale poiché assicura che le operazioni tra classi non dipendono dagli eleme (...)

4. si mostra che tale relazione è una congruenza8 della struttura algebrica (Z×(Z-{0}), +, ), cioè che x e y x+y +, xy

5. si considera il quoziente di (Z×(Z-{0}), +, ) modulo ≡, cioè la struttura algebrica

– il cui dominio è Q = {[(n,m)] : m ≠0} dove [(n,m)] denota la classe di equivalenza {(,) : (n´,m´) ≡ (n,m)}

– in cui le due operazioni + e sono definite ponendo [x]+[y] = [x+y]; [x]+[y] = [x+y].

  • 9  Discorso analogo viene fatto quando si introducono i numeri relativi, gli interi modulo m, oppure (...)

Gli elementi di Q vengono chiamati numeri razionali9.

49Si usa chiamare frazione un elemento (n,m) e si usa indicarlo con l’espressione n/m. Inoltre per indicare un numero razionale, che come abbiamo visto è una classe di equivalenza, si utilizza un qualunque elemento di tale classe. Per esempio il numero razionale che indichiamo con la frazione 4/6 viene a essere la classe [4/6] = {n/m (Z×(Z-{0} : m≠0 e 2m = 3n} e lo stesso numero può essere indicato con 2/3, oppure con 10/30. Con tale modo di procedere l’uguaglianza tra razionali coincide con l’identità tra classi.

50Tuttavia un modo di riformulare tale costruzione dei razionali è di non arrivare al quoziente di cui si dice al punto 5 ma di considerare la struttura (Z×(Z-{0}), +, , ≡) dove l’uguaglianza è interpretata questa volta dalla congruenza ≡. In altre parole possiamo definire l’oggetto numero razionale n/m come la coppia di interi (il ccdi) n/m più la relazione di equivalenza ≡ in accordo con la definizione data di oggetto crisp. Questa scelta rappresenta molto meglio il modo di procedere di chi effettua calcoli con le frazioni che non pensa affatto di trasportare, nei suoi calcoli, il “peso” di intere classi di equivalenza. È anche la scelta fatta da un linguaggio potentissimo come quello di Mathematica che tratta i razionali come coppie e traduce l’equivalenza in un sistema di riscrittura.

  • 10  Solo un matematico può pensare la cosa assurda che tagliare una torta in 3 parti è pigliarne 2 sia (...)
  • 11  La teoria degli insiemi rozzi (rough set theory) tratta gli oggetti matematici in questo modo.

51A ben riflettere tuttavia la coppia n/m potrebbe definire anche altri oggetti matematici poiché è possibile scegliere in vari modi l’equivalenza da accostare a tale coppia. Per esempio, se teniamo conto dei tempi di calcolo non sarebbe assurdo assumere come equivalenza l’identità e quindi distinguere tutte le coppie tra loro. Si tratta di distinguere, il “dividere per 6 e moltiplicare per 4” dal “dividere per 900 e moltiplicare per 600”. In questi casi di solito si parla di “frazione” e non di numero razionale10. Ancora, se abbiamo comprato una calcolatrice che non tratta i numeri oltre la quarta cifra decimale, possiamo essere indotti a considerare equivalenti due numeri che coincidono fino alla quarta cifra. Allora con 4/6 dovremmo denotare una classe che contiene sia la coppia 40001/60000 = 0.666683… sia la coppia 4666/1000 = 0.4666000…11.

52Ma possiamo anche definire razionali vaghi ammettendo equivalenze vaghe. Per esempio possiamo introdurre nell’insieme delle coppie n/m una eguaglianza più rilassata che tenga conto della vicinanza tra numeri razionali. Il seguente è un esempio

e(n/m,p/q) = 1/((nq-mp)/mq)2+1)

53In questo caso una coppia come 4/6 denota un oggetto vago, che potremmo chiamare “circa 4/6”. Questo oggetto è costituito dall’insieme fuzzy di frazioni il cui grafico, guarda caso, ricorda molto una montagna:

Questo non è il Cervino, ma il numero “circa 4/6”

Questo non è il Cervino, ma il numero “circa 4/6”

54Numeri di tale tipo sono ampiamente utilizzati dai fuzzisti sotto il nome di “numeri fuzzy” e sono per esempio alla base della teoria del controllo fuzzy.

55Forse l’idea che in un oggetto matematico è implicita una nozione di equivalenza permette di fare entrare in gioco la nozione di verità proposta dalla teoria delle supervalutazioni anche nel preciso mondo della matematica classica. Infatti quando affermiamo, per esempio, che è vera l’affermazione “il numero 4/6 è minore del numero 3/4” possiamo intendere che, presa una qualunque determinazione n/m del primo numero e una qualunque determinazione p/q del secondo numero risulta che è verificata la proprietà nqmp. In altre parole, tale asserzione è vera se è vera per tutte le possibili determinazioni di 4/6 e di 3/4. Supponiamo invece di inventarci una diversa proprietà, per esempio

“dicesi strabico un razionale n/m tale che n-1 = m+1”

allora saremmo tentati di affermare che 5/3 è strabico. Tuttavia un supervalutazionista osserverebbe che una differente determinazione di tale razionale, per esempio 15/9 non è più strabica e quindi la proprietà di essere strabico è indeterminata per 5/3. Naturalmente mentre una affermazione del tipo “15/9 o è strabico oppure non lo è” per un supervalutazionista è vera, per un matematico sarebbe invece non è ben definita in quanto, non essendo ben definita la nozione di “strabico”, è un errore matematico considerare qualunque affermazione che la coinvolga.

56Concludo questo paragrafo osservando che ovviamente esiste una differenza notevole tra un oggetto vago come il Cervino, che abbiamo definito tramite una misteriosa nozione di ccdi più una altrettanto misteriosa e mal definita nozione di similarità, e un numero vago come “circa 4/6” che invece parte da una precisa definizione di coppia e di similarità. D’altra parte è evidente che esiste sempre una differenza notevole tra qualunque pezzo della realtà e qualunque modello matematico che pretenda di rappresentarlo.

5. Qualche considerazione finale

57Le definizioni proposte non costituiscono ovviamente una risposta alla domanda di Varzi circa l’esistenza di oggetti vaghi. Comunque forse evidenziano che tale questione non appare molto diversa da quella dell’esistenza degli oggetti tout court ed entrambe forse non sono troppo diverse dalla questione dell’esistenza degli oggetti matematici. Evidenziano anche che contro l’ipotesi di una esistenza oggettiva gioca proprio il fatto che la scelta del tipo di uguaglianza appare come un intervento fortemente soggettivo dell’uomo. Possiamo decidere che S denoti una sedia crisp (se si assume l’uguaglianza determinata dai movimenti rigidi) oppure che denoti una sedia vaga (se si assume la similarità legata all’azione di lavorare di raspa). Se S si riferisce a una sedia a sdraio su una spiaggia potremmo non accettare l’uguaglianza definita dai movimenti rigidi poiché stare vicini alla riva o lontani non è la stessa cosa. Potremmo tuttavia accettare un gruppo fuzzy dei piccoli spostamenti. Ancora, possiamo decidere che 4/6 rappresenti un numero razionale, come fanno i matematici, oppure una frazione, oppure un numero fuzzy oppure un numero approssimato.

58Per quanto riguarda gli oggetti matematici la parte intuizionista che è in me mi suggerirebbe che essi siano una invenzione-costruzione della mente umana e quindi che essi non esistano più di quanto possa esistere Topolino. Tuttavia, come tutti i matematici, sono di fatto un platonista il quale agisce come se tali oggetti avessero una esistenza propria. Come scusa si può dire che si tratta di un platonismo logico o psicologico e non necessariamente ontologico. Non mi sembra che per gli oggetti non matematici, siano essi vaghi oppure no, le cose vadano diversamente. In questo senso si può forse affermare che esistono nel mondo sia gli oggetti crisp sia quelli vaghi o perlomeno che la mente umana ha bisogno di fare finta che esistano per poter sopravvivere.

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Note

1  Per dettagli si veda per esempio Gerla 2001.

2  Si veda Gerla 2006.

3  La questione di che cosa sia un oggetto fisico non è banale ed esiste una vasta letteratura in proposito. Citiamo per esempio Noll 1993; Borgo, Guarino, Masolo 1996b e 1996c; Bennett 2002; Bottani 2001.

4  In questo modo il termine S ha una sola interpretazione (la classe [s]) e non, contrariamente al punto di vista dei supervalutazionisti, infinite determinazioni (gli elementi della classe [s]).

5  Poiché non si specifica il tipo di equivalenza, tale definizione è abbastanza elastica da essere compatibile con vari punti di vista sulla natura degli oggetti materiali (si veda il tridimensionalismo, il quadridimensionalismo, il sequenzialismo come esposto per esempio in Varzi 2002).

6  In caso contrario, molto meglio di quanto siano capaci di fare i fisici, avrei creato materia dal nulla con finanziamenti bassissimi e utilizzando solo un po’ di energia, una zappa e un po’ di filosofia!

7  Evans 1978.

8  Tale richiesta è essenziale poiché assicura che le operazioni tra classi non dipendono dagli elementi rappresentativi scelti in ciascuna classe.

9  Discorso analogo viene fatto quando si introducono i numeri relativi, gli interi modulo m, oppure quanto si definiscono i numeri reali tramite le successioni di Cauchy.

10  Solo un matematico può pensare la cosa assurda che tagliare una torta in 3 parti è pigliarne 2 sia esattamente la stessa cosa di tagliarla in 900 parti e prenderne 600 (se non altro per il tempo che ci vuole e per il fenomeno delle briciole; entrambi aspetti questi di cui il matematico si disinteressa completamente).

11  La teoria degli insiemi rozzi (rough set theory) tratta gli oggetti matematici in questo modo.

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Indice delle illustrazioni

Titolo Questo non è il Cervino, ma il numero “circa 4/6”
URL http://estetica.revues.org/docannexe/image/1719/img-1.jpg
File image/jpeg, 178k
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Per citare questo articolo

Notizia bibliografica

Giangiacomo Gerla, « 4.4. Il Cervino di Varzi: similarità e oggetti vaghi », Rivista di estetica, 49 | 2012, 281-296.

Notizia bibliografica digitale

Giangiacomo Gerla, « 4.4. Il Cervino di Varzi: similarità e oggetti vaghi », Rivista di estetica [Online], 49 | 2012, online dal 30 novembre 2015, consultato il 27 luglio 2017. URL : http://estetica.revues.org/1719 ; DOI : 10.4000/estetica.1719

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