Navigazione – Mappa del sito
2. ontologia formale

2.4. Criteri d’identità e adeguatezza logica

Massimiliano Carrara e Silvia Gaio
p. 141-160

Abstract

Aim of the paper is to make some steps towards a formal characterization of identity criteria. First of all, we analyse some logical requirements identity criteria are supposed to satisfy and observe that some commonly used identity criteria fail to meet some of them. We focus in particular on the equivalence requirement. We consider then the proposals which have been given so far and aimed at providing logical adequacy to non-equivalent identity conditions. To this purpose, we analyse Williamson’s and De Clerq and Horsten’s treatment of identity criteria. We expand their formal framework, characterizing identity conditions in terms of contexts and levels of granularity too.

Torna su

Testo integrale

Introduzione

1Ci sono modi diversi d’intendere il realismo ontologico. Una sua formulazione, forte, consiste nel sostenere che:

Esiste un mondo indipendente dalla mente ed è strutturato: nel mondo vi sono oggetti, proprietà…

2Se si adotta una tale caratterizzazione, sorge subito il problema di selezionare, fra le diverse categorie di enti, quali siano quelli che realmente esistono, in altre parole quali oggetti appartenenti a un certo tipo sono indipendenti dalla mente. In relazione a oggetti di un certo tipo specifico, siano questi eventi, proprietà… è possibile essere antirealisti se si pensano come mere proiezioni del nostro pensiero, o realisti se invece si considerano come realmente esistenti.

3Nella letteratura sul tema un modo di dirimere la questione è stato quello di cercare di selezionare quegli oggetti che sono ontologicamente rispettabili: la tesi, detta in termini generali, è che esistono realmente solo quegli oggetti che hanno rispettabilità ontologica.

4Problema: come assegnare rispettabilità ontologica a un oggetto? Una risposta standard alla domanda è consistita nel sostenere che i criteri d’identità forniscono rispettabilità ontologica: entità sono ammissibili in una data ontologia quando i loro criteri d’identità sono chiaramente determinati.

5Sono stati fatti parecchi tentativi per rispettare questa richiesta per entità quali oggetti materiali, astratti, eventi e proprietà. Così, per esempio, un evento quale la morte di Cesare è, sulla base di questo criterio, ammissibile, mentre una proposizione, come per esempio che Socrate è un uomo, sempre sulla base di questo criterio, non lo è. Infatti, per gli eventi abbiamo un criterio d’identità, per le proposizioni invece no. Il criterio d’identità per gli eventi è stato così formulato da Davidson:

  • 1  Davidson 1969.

(E=) Eventi sono identici sse (se e solo se) hanno le stesse cause ed effetti1

6L’argomento per la mancanza di un criterio d’identità per proposizioni è invece così riassumibile: le nozioni intensionali riguardanti il significato sono, per ragioni che qui esulano dall’argomento, irrimediabilmente vaghe. Se le nozioni intensionali riguardanti il significato sono vaghe, le condizioni d’identità formulate in termini intensionali sono inadeguate. Non è infatti possibile esprimere in modo determinato le condizioni di verità degli enunciati d’identità che le riguardano. Perciò tutte quelle entità che sono individuabili solo ricorrendo al significato non sono ammissibili. Proprietà o proposizioni sono individuabili in quest’unico modo. Ne segue che non sono ammissibili.

7Se la rispettabilità ontologica per certi tipi di oggetti passa attraverso l’ammissione di un criterio d’identità per i tipi in questione, cosa intendiamo per criterio d’identità? In questo lavoro ci concentriamo su alcune condizioni formali che un criterio d’identità dovrebbe soddisfare. Scopo del contributo è abbozzare alcuni elementi di una teoria formale dei criteri d’identità.

1. Sull’adeguatezza logica dei criteri d’identità

8L’introduzione della nozione di criterio d’identità è solitamente attribuita a Frege. Nel §62 delle Grundlagen, Frege li introduce in un contesto in cui si discute di criteri d’identità per i numeri. Così scrive Frege:

  • 2  Frege 1884, §62.

Se il segno a ha da denotare un oggetto, deve esistere qualche criterio capace di farci decidere, in generale, se il segno b indichi lo stesso oggetto di a; e ciò ammesso che non risulti sempre in nostro potere applicare un tale criterio2.

9Anche se non è chiaro se Frege stia pensando a criteri d’identità per oggetti materiali e non solo per oggetti astratti – i numeri appunto – le sue considerazioni suggeriscono che possano riguardare gli uni e gli altri. Seguendo Frege, un criterio d’identità fornisce un modo per rispondere al seguente quesito, dove a e b sono oggetti di un dato dominio:

(Domanda fregeana) Come possiamo sapere se a è identico a b?

10Due noti esempi di criteri d’identità formulati da Frege stesso sono:

(Direzioni) La direzione della linea a è identica alla direzione della linea b sse (= se e solo se) a è parallela a b

(Numeri) Il numero degli F è identico al numero dei G sse c’è una corrispondenza uno-ad-uno fra gli F e i G

11Nella letteratura filosofica la domanda fregeana è stata riformulata nei tre seguenti modi:

(Domanda ontologica) Se a e b sono K, che cosa significa per un oggetto a essere identico a b?

(Domanda epistemica) Se a e b sono K, come possiamo sapere che a è lo stesso di b?

(Domanda semantica) Se a e b sono K, quando “a” e “b” si riferiscono allo stesso oggetto?

12La differenza di una risposta alla domanda epistemica e di una risposta a una domanda ontologica non è puramente formale. Rispondendo a una domanda epistemica stiamo pensando a condizioni associate a una procedura per decidere le questioni d’identità riguardanti gli oggetti di un qualche tipo K. Rispondendo a una domanda ontologica stiamo invece pensando a condizioni che intendono fornire un’analisi ontologica di oggetti del tipo K. Infine, una risposta alla domanda semantica riguarda identità e differenza di riferimento delle espressioni singolari “a” e “b”.

13Per cercare di fornire una caratterizzazione dei criteri è importante, innanzi tutto, isolarne la forma logica. La ragione è che alcune condizioni che un criterio d’identità deve soddisfare sono formali, sono quindi, appunto, dettate dalla sua forma logica. Fra le varie formulazioni che la forma di un criterio assume, consideriamo le due che seguono:

xy ((xKyK) → ( f (x) = f (y) ↔ R (x, y))) (IC*)

 

xy ((xKyK) → (x = yR (x, y))) (IC)

 

dove R è la condizione d’identità per gli f (x) (se si tratta di (IC*)) o per gli x (se si tratta di (IC)). Si tratta di una relazione che vale fra oggetti appartenenti a un qualche tipo K e dove, nel caso (IC*), f è una funzione il cui dominio è K e il cui codominio è l’insieme f (K). Così la lettura intuitiva di (IC*) è la seguente: se x e y sono K, allora x è lo stesso f di y sse R è una relazione che vale fra x e y.

14In alcuni casi (IC*) è formulato – senza riferirsi a K – nel modo seguente:

xy (x´ = y´ ↔ R (x, y)) (IC**)

  • 3  Williamson 1986: 145-146.

dove “x´” e “y´” sono termini per entità del tipo K adeguatamente connessi a x e y. Per Williamson (IC*) e (IC**), forniscono la forma logica di un criterio d’identità a due-livelli3. Un esempio di un criterio d’identità a due livelli è il criterio fregeano per le direzioni:

xy (o(x) = o(y) ↔ P (x, y)) (O)

dove x e y variano su linee, o sta per “è la direzione di” e P per “è parallela a”. In (O) il segno d’identità è affiancato da termini che sono costruiti per mezzo di lettere funzionali e la parte destra del bicondizionale introduce una relazione fra entità differenti per le quali il criterio è formulato. Al contrario, l’assioma di estensionalità per insiemi:

∀x∀y (x = y ↔ ∀z (zxzy)) (A)

è un esempio di criterio d’identità a un livello. I criteri d’identità a un livello quantificano su oggetti del tipo per il quale forniscono un criterio. Così, per esempio, (A) quantifica su insiemi, oggetti per i quali (A) fornisce un criterio.

15Nelle formulazioni dei criteri d’identità a un livello vi è un bicondizionale che ha nella parte sinistra una relazione d’identità fra oggetti di quel tipo e nella parte destra una relazione equivalente alla relazione d’identità fra gli oggetti del tipo di cui è criterio.

16Al contrario, le condizioni dei criteri d’identità a due livelli non riguardano oggetti del tipo per il quale si fornisce un criterio ma oggetti di un tipo differente. Così, per esempio, (O) è un criterio d’identità per le direzioni e quantifica su linee.

17Anche nelle formulazioni dei criteri d’identità a due livelli vi è un bicondizionale. Nella sua parte sinistra vi è una relazione d’identità attribuita a termini costruiti a partire da una lettera funzionale che sta per una funzione da oggetti del dominio di quantificazione a oggetti del tipo di cui il criterio è criterio. Nella parte destra del bicondizionale vi è invece una relazione d’equivalenza fra le entità a cui gli oggetti per i quali viene fornito un criterio sono correlati. Per esempio, in (A) il segno d’identità è affiancato da termini per insiemi e la parte destra è una relazione equivalente a quella d’identità per gli insiemi. Williamson osserva che

  • 4Ivi: 147.

l’idea di un criterio d’identità a due livelli ha un ovvio vantaggio. Nessuna formula può essere più fondamentale (in qualunque senso rilevante) di “x = y” ma alcune potrebbero essere più basilari di “o(x) = o(y)”, rimuovendo il simbolo di funzione “o” e inserendo qualcosa più basilare di esso – come potrebbe essere sostenuto per (O)4.

18La forma logica dei criteri non è l’unico vincolo formale che si può imporre alle condizioni d’identità. Nella prossima sezione limitiamo la nostra analisi ad alcuni vincoli formali sulla condizione d’identità R espressa nel criterio. Obiettivo della sezione è quello di isolare alcuni vincoli utili nella caratterizzazione del criterio.

2. Requisiti formali per R

19La relazione R che compare nelle varie formulazioni dei criteri d’identità rappresenta la cosiddetta condizione d’identità. Dato un enunciato d’identità a = b, la relazione R che sussiste fra a e b è una relazione d’equivalenza. Quali proprietà logiche deve possedere R per essere un buon candidato ad avere il ruolo di condizione d’identità per gli oggetti K? Di seguito vengono analizzati alcuni possibili vincoli su R.

20Non vacuità. La condizione d’identità non dovrebbe, innanzi tutto, possedere parti vacuamente soddisfacibili. Per capire cosa intendiamo “per parti vacuamente soddisfacibili” si consideri il seguente esempio. Sia PO l’insieme degli oggetti fisici, S l’insieme degli insiemi, R(x, y) la condizione d’identità per PO e (x, y) la condizione d’identità per S:

∀x∀y (((xPOxS) ∧ (yPOyS)) → (x = y ↔ (R (x, y) ∨ R´ (x, y))))

  • 5  Lombard 1986.

21La condizione sopra fornita per l’identità di x e y non risulta associata a un tipo d’entità interessante, poiché i membri del presunto tipo non condividono alcuna proprietà “rilevante” o “naturale” dove una proprietà, riprendendo Lewis, è naturale se è una caratteristica oggettiva del mondo. La condizione d’identità deve specificare un certo tipo di relazione tale che tutti gli elementi della relazione stiano assieme in un modo rilevante. In questo senso la condizione d’identità sarebbe una proprietà di proprietà. Lombard chiama proprietà determinabili queste ultime, dal momento che esse servono a isolare una certa classe di oggetti, i determinabili appunto5.

22Informatività. R dovrebbe contribuire a specificare la natura del tipo di oggetti di tipo K ai quali R viene attribuita come condizione d’identità. Se il ruolo di un criterio d’identità è di specificare alcune proprietà non banali, anzi essenziali, per oggetti di tipo K allora la forma della relazione non potrà essere quella di una tautologia. Così, per esempio, la condizione non potrà avere una forma del tipo:

R (x, y) ∨ ¬R (x, y)

  • 6  Frege 1884: §66.

23Quello dell’informatività è da sempre uno dei problemi principali nella caratterizzazione dei criteri. Ne era consapevole già Frege6. A proposito degli enunciati d’identità per le direzioni:

La direzione della linea a è identica alla direzione della linea b

scrive:

La direzione di a si presenta come un oggetto, e la nostra definizione ci offre un mezzo per riconoscere questo oggetto qualora esso dovesse presentarsi in veste diversa, per esempio nella veste di “la direzione di b”. Tale mezzo però non è efficace in tutti i casi possibili. Per esempio non ci permette di decidere se l’Inghilterra sia una direzione, e quindi risulti o no uguale alla direzione dell’asse terrestre […] Certamente nessuno penserà che l’Inghilterra sia una direzione; però questo non si ricava dalla definizione. Essa, infatti, non ci dice se la proposizione:

“la direzione di a è uguale a q

  • 7Ibidem.

debba venir ammessa o negata, quando q non è un’espressione del tipo “la direzione di b7.

24Se è così allora la natura di certi oggetti è completamente chiarita solo se si trova un modo di riferirsi a essi tale da permetterci di decidere il valore di verità di ogni enunciato d’identità riguardante gli stessi, e non solo quelli di cui i criteri d’identità attestano l’equivalenza, quindi anche dell’enunciato:

L’Inghilterra è uguale alla direzione di b

  • 8  Frege 1884: §66.

25In principio dovrebbe essere quindi possibile decidere qualunque questione riguardante un oggetto del tipo K e un oggetto qualunque. Problema: di cosa allora abbiamo bisogno per ottenere la decidibilità universale delle questioni d’identità che riguardano K? Frege dice che abbiamo bisogno del concetto di K. Per esempio, nel caso delle direzioni: «Ci manca, purtroppo, il concetto di direzione»8. Ciò equivale ad ammettere che un criterio d’identità per oggetti del tipo K non fornisce il concetto K che si era supposto fornisse. Infatti, Frege rinuncia al suo intento di trovare i corrispondenti concetti di direzione, di numero e forma geometrica dai criteri d’identità per gli oggetti corrispondenti.

26Esclusività parziale. Una condizione d’identità di oggetti di tipo K non può essere così generale da applicarsi a molti altri tipi d’oggetto. L’esempio che Lombard (1986) a questo proposito fornisce è:

Se x e y sono entrambi oggetti non fisici, x e y sono identici sse essi hanno la stessa essenza individuale

27Le proprietà che cadono sotto quella di avere un’essenza individuale non si applicano solo a oggetti non fisici e possono essere parte delle condizioni d’identità di molti altri oggetti.

28Circolarità. Si consideri, ancora, il criterio davidsoniano d’identità per gli eventi:

Eventi sono identici sse hanno le stesse cause ed effetti (E)

la cui traduzione formale sarà, con C(x,y) “x è causa di y”:

x = y sse ∀z ((C (z, x) ↔ C (z, y)) ∧ (C (x, z) ↔ C (y, z))) (E)

29Poiché non vi sono relazioni d’identità nella parte destra del bicondizionale il criterio non è formalmente circolare. A proposito della circolarità o meno del criterio, vari filosofi sono, però, sospettosi. Secondo alcuni usare (E) per stabilire se un evento e ha le stesse cause ed effetti di un evento e´ può dipendere dalla soluzione di un quesito che riguarda l’identità di entità dello stesso tipo. Non sembra allora possibile formulare un criterio esplicativo dell’identità per oggetti di un certo tipo poiché la formulazione di un tale criterio implicherebbe una quantificazione su tutti gli oggetti per cui il criterio è specificato e una tale quantificazione presuppone l’identità degli oggetti che sono quantificati.

30Lowe ha distinto due modi in cui un criterio d’identità può essere impredicativo (1991). Un modo debole e uno forte. Un criterio è debolmente impredicativo quando ha la forma di una generalizzazione universale le cui variabili variano sulla totalità delle entità includendo le stesse entità per cui viene fornito il criterio. (E) è impredicativo in questo senso. Infatti, è facile notare che i quantificatori che vincolano x e y sono stati tacitamente eliminati. (E) sarebbe correttamente così scritta:

xy (x = y ↔ ∀z ((C (z, x) ↔ C (z, y)) ∧ (C (x, z) ↔ C (y, z)))) (E*)

  • 9  Quine 1985: 166.

31Un criterio è fortemente impredicativo quando nella parte destra del bicondizionale vi è un quantificatore che varia su di una totalità che include le stesse entità per le quali è fornito il criterio. In (E*) la variabile z quantifica su eventi, se uno assume, come fa Davidson, che solo gli eventi sono cause ed effetti. (E*) è quindi anche fortemente impredicativo. Per Quine ciò compromette la possibilità di considerare (E*) come un criterio d’identità per gli eventi. «La circolarità di (E*) consiste nel fatto che esso pretende di individuare eventi quantificando sugli eventi stessi»9. Allo scopo di rinforzare la sua accusa di circolarità al criterio davidsoniano d’identità per gli eventi Quine compara (E) con quest’altro criterio chiaramente inappropriato:

x = y ↔ ∀z (xzyz) (ED)

32Quine osserva che (ED) definisce l’identità per gli eventi e anche per altre cose; ma non le individua. E perché no? Perché quantificare sulle classi z, significa qualcosa solo nella misura in cui le classi significano qualcosa, e quindi solo per quanto come classi sono individuate. Ma le classi sono individuate perfettamente per mezzo della legge di estensionalità che eguaglia classi i cui membri sono identici? No; questa legge individua classi solo nella misura in cui i loro membri sono individuati. Poiché (ED) spiega l’identità degli eventi quantificando su classi di eventi, essa individua eventi solo se le classi degli eventi sono già individuati, e perciò solo se gli eventi sono già individuati. Qui sta la circolarità di (ED) – non come una definizione ma come un’individuazione.

33Non-tautologicità. R non può essere una proprietà condivisa da ogni coppia di oggetti K. Formalmente:

RK × K

34La formula dice che la relazione R è un sottoinsieme proprio dell’insieme K × K, vale a dire che vi è una coppia di oggetti che è K e non è nell’estensione di R.

35K-massimalità. R ha da essere massimale rispetto a K. In altre parole si richiede che R sia la proprietà diadica più ampia, tale da permettere di rendere la condizione d’identità R vera. Si definisce l’ampiezza di una proprietà in questi termini:

36Una proprietà diadica G è più ampia di una proprietà diadica G´sse per un qualunque x e y, se G´ (x, y), allora G (x, y), ma non viceversa.

37Ciò significa che le coppie ordinate di G´ sono un sottoinsieme delle coppie per G. Formalmente, per tutte le relazioni R´ tali che sono possibili candidati per la condizione d’identità R:

R′ ⊆ R

38Unicità. R deve essere unica rispetto a K. Ciò significa che, se vi sono R R…Rn, tali che (i) ciascun Ri soddisfa IC e (ii) se ciascun Rk è indipendente da ciascun Rj (in altre parole, ogni Rk non è né più “stretto” né più “ampio” di un Rj), allora al più uno degli R R… Rn fornisce un criterio adeguato d’identità per i K-oggetti.

39Equivalenza. R, come si è detto, deve essere una relazione d’equivalenza. Nella parte sinistra del bicondizionale in IC c’è una relazione d’identità (che è una relazione d’equivalenza). Di conseguenza, la relazione R sulla parte destra del bicondizionale deve esserci una relazione d’equivalenza. Per essere logicamente adeguato, allora, un criterio d’identità deve avere una relazione d’equivalenza come condizione d’identità. Nel terzo paragrafo ci si occuperà nello specifico di fallimento della transitività.

3. Il fallimento della transitività

40Nel dibattito sui criteri d’identità, così come si è osservato, alcune relazioni R considerate buoni candidati a essere qualificati come condizioni d’identità non ne possiedono i requisiti formali. Qui di seguito ci concentreremo solo sul fallimento della transitività. Consideriamo un paio di esempi, ripresi da Williamson, e (IC*) come formulazione dei criteri d’identità.

Esempio 1. Siano x, y, z variabili che variano su esempi di colori e sia f la funzione che mappa tali esempi di colori ai colori percepiti. Un candidato plausibile per R potrebbe essere la relazione d’indistinguibilità. Tuttavia è facile verificare che una tale R non è necessariamente transitiva: può capitare che x sia indistinguibile da y e y da z, ma x e z possono essere percepiti come colori diversi.

Esempio 2. Se f (x) è una grandezza fisica, per determinare l’identità di f (x) = f (y) si misura la grandezza di x e quella di y. Se x e y differiscono anche di poco, l’operazione di misurazione potrebbe dare comunque come risultato un’identità di grandezze fisiche. Ma allora non sarebbe una relazione d’equivalenza proprio perché violerebbe la transitività: la somma di molte piccole differenze non è essa stessa piccola.

  • 10  Williamson 1986; 1990.
  • 11  De Clercq e Horsten 2005.

41I due esempi sopra brevemente descritti mostrano come le relazioni che sono candidati plausibili a essere condizioni d’identità non soddisfano il vincolo logico dell’equivalenza. Invece di rifiutare questi candidati a soddisfare la R, considerandoli magari plausibili ma logicamente inadeguati è stato suggerito di approssimare la relazione R ogni volta che questa non sia transitiva. Ciò significa che, data una relazione R non transitiva, possiamo ottenere delle relazioni d’equivalenza che approssimino R. Qui diamo conto (abbastanza velocemente) di tre approcci che sviluppano l’idea appena formulata: due che si devono a Williamson10 e uno che si deve a De Clercq e Horsten11.

4. Condizioni d’identità approssimate: i due approcci di Williamson

  • 12  Williamson 1986.

42Williamson12 propone di abbondare la richiesta di considerare R una condizione necessaria e sufficiente per l’identità espressa nel criterio. Propone, invece, di fornirne una caratterizzazione per mezzo di sue possibili approssimazioni R´ R´´ R´´´ che siano relazioni d’equivalenza. Quale di questi R´, R´´, R´´´ è la migliore approssimazione a R? Per determinare quale sia la migliore approssimazione a R, Williamson fornisce due vincoli che una qualunque R´ deve soddisfare:

Vincolo debole. Nessun candidato R´´ deve approssimare R meglio di R´

Vincolo forte. R´ deve approssimare R meglio di ogni altro candidato R´´

43L’obiettivo è quello di ottenere relazioni d’equivalenza che approssimino la nostra R. Williamson propone due modi distinti per ottenere tali relazioni: un approccio che chiama dal basso e un approccio dall’alto. L’approccio dal basso cerca di isolare la più piccola relazione d’equivalenza R+ tale che R R. Ciò significa che, dati f(x) e f(y) questi non sono identici dato R e lo sono dato un certo R+. Abbiamo perciò un criterio di questo tipo:

xy (f (x) = f (y) ↔ R+ (x, y)) (IC+)

44L’approccio dal basso, invece, cercherà di isolare la relazione d’equivalenza più ampia R- tale che R-R. Ciò significa che R- è una sotto-relazione di R poiché non tutte le coppie ordinate in R sono coppie ordinate in R-. R- è isolabile in base all’assioma di scelta, ma non è unico. Per decidere quale sia la relazione da preferire si devono aggiungere degli altri vincoli. Il primo, formulato da Williamson stesso, è detto vincolo della minimalità. Questo vincolo sancisce che la relazione R- da preferire in quanto miglior approssimazione è quella che isola il minor numero di classi di equivalenza. Il criterio d’identità ha una forma di questo tipo:

xy (f (x) = f (y) ↔ R- (x, y)) (IC-)

45Secondo Williamson, le condizioni d’identità che noi utilizziamo comunemente e che non sono logicamente adeguate danno o solo condizioni d’identità necessarie, ma non sufficienti, oppure solo condizioni sufficienti, ma non necessarie. Per esempio, la condizione di essere percettualmente indistinguibile è una condizione d’identità necessaria per i colori. Al contrario ci sono alcuni tipi di entità per i quali si stabiliscono criteri d’identità solo sufficienti: per esempio alcune forme di continuità mentale (della coscienza).

46Nel caso in cui il criterio ci dà una condizione necessaria e non sufficiente per l’identità degli oggetti considerati, si applica l’approccio dal basso. Al contrario, se il criterio ci dà una condizione sufficiente ma non necessaria, si applica l’approccio dall’alto.

47Naturalmente non vi sono sempre buone ragioni per considerare una condizione come ovviamente necessaria o sufficiente per l’identità di alcuni tipi di enti. Esiste anche una terza opzione, che è il punto di partenza di De Clercq e Horsten e che analizzeremo nella prossima sezione: quella di considerare una certa approssimazione né necessaria né sufficiente per l’identità degli f (x).

5. Approccio per sovrapposizione

48R. De Clercq e Horsten propongono un approccio alternativo a quelli suggeriti da Williamson e detto “approccio per sovrapposizione” (overlapping approach): la relazione approssimata d’equivalenza R± è tale che si sovrappone parzialmente alla relazione non transitiva data R. R± non è quindi né una sub- né una super-relazione rispetto a R. I vantaggi di tale approccio sono:

(i) può essere usato nei casi in cui la condizione d’identità più plausibile non è né necessaria né sufficiente;

(ii) può generare approssimazioni più vicine a R.

49La proposta di De Clercq e Horsten si basa sull’assunzione che R non sia indeterminata. Ogni due oggetti del dominio o sono in relazione R tra loro oppure non lo sono. Si tratta di un presupposto filosoficamente forte che in questa sede però non discutiamo.

50Per comprendere l’approccio per sovrapposizione, consideriamo il seguente esempio. Assumiamo un certo dominio D = {a, b, c, d, e} e assumiamo una relazione R riflessiva e simmetrica. Ipotizziamo, inoltre, che questa relazione sia un buon candidato a essere la condizione d’identità per gli elementi del dominio. Quando due elementi di D, x e y, sono in relazione R, indicheremo la coppia ordinata in questo modo: *xy. In altri termini, *xy sta a indicare R (x, y) e R (y, x). Sia R la seguente relazione in D:

R = {*ac, *ad, *bc, *bd, *cd, *de}

51R non è una relazione di equivalenza perché non è transitiva. Gli elementi a e d stanno in relazione R e così d ed e, ma non a ed e. R+ è definita in modo unico e in questo caso è il seguente super-insieme di R:

R+ = {*ab, *ac, *ad, *ae, *bc, *bd, *be, *cd, *ce, *de}

52Al contrario, R- non è unica. Una delle possibili relazioni d’equivalenza che può essere definita come sottoinsieme di R è la seguente:

R- = {*bc, *bd, *cd}

53Possiamo così definire la seguente relazione sovrapposta:

R± = {*ab, *ac, *ad, *bc, *bd, *cd}

54De Clercq e Horsten sostengono che la relazione R± sia la migliore approssimazione alla R: è assunta intuitivamente come condizione d’identità per gli oggetti del dominio. Data una relazione non transitiva R e sue approssimazioni R´, R´´, …, per determinare la migliore tra queste si calcola innanzitutto il grado di infedeltà a R di ognuna di esse.

55Il grado di infedeltà di una relazione approssimata è il numero di coppie di elementi che vengono aggiunte o tolte rispetto a R. Nell’esempio sopra proposto, R+ è ottenuta aggiungendo quattro coppie a R, R- togliendo tre coppie, mentre R± togliendo una coppia e aggiungendone un’altra. Perciò, il grado di infedeltà di R+ è 4, di R- è 3 e di R± è 2. Il grado minore di infedeltà tra le tre relazioni è quello di R±. R± è la migliore approssimazione di R – essa ha infatti il grado di infedeltà più basso.

6. Contesti e livelli di granularità

  • 13  Williamson 1990.

56Consideriamo l’esempio relativo ai colori proposto da Williamson13 e richiamiamo la formulazione del criterio d’identità per i colori:

Siano x, y, z,… esemplificazioni di colori. Il colore di x è identico al colore di y se e solo se x e y sono percettivamente indistinguibili rispetto al loro colore

  • 14  Hardin 1988.

57Il caso dei colori è un noto esempio di fallimento della relazione di transitività ed è stato discusso anche in altri luoghi della letteratura filosofica. Tra queste richiamiamo le osservazioni proposte da Hardin sul tema14.

58Hardin sottolinea che molti filosofi sostengono il seguente principio d’indistinguibilità per colori (che chiamiamo NT):

(NT) Esistono triple di colori x, y e z, tali che x è indistinguibile da y e y è indistinguibile da z, ma x non è indistinguibile da z.

59In NT l’indistinguibilità percettiva non è transitiva; perciò il criterio d’identità per colori basato sull’indistinguibilità è formalmente inadatto: mentre a sinistra del bicondizionale vi è una relazione che, poiché d’identità è necessariamente d’equivalenza, la relazione a destra del bicondizionale non lo è. Questo problema sembra riguardare ogni teoria semantica di termini indicanti colori basata sugli usi quotidiani dei predicati di colore. A dire il vero, Hardin sostiene che siano i colori stessi a essere indeterminati, ovvero che non vi sia nessuna soglia di discriminazione tra i colori stessi. Al contrario, la verità di NT sembra basarsi proprio sull’assunzione che vi sia una tale soglia. Seguendo Hardin, rifiutare la tesi secondo cui sia possibile tracciare una discriminazione tra colori porta a rifiutare NT.

60In casi non problematici, ovvero quando dobbiamo esprimere giudizi su colori diversi, riportiamo le nostre osservazioni usando dei predicati grossolani o imprecisi perché non abbiamo bisogno di esprimere differenze tra le sfumature di colore. Invece, quando abbiamo a che fare con casi borderline, tendiamo a essere più precisi nell’usare i predicati in questione. Così, più raffinati sono i predicati usati nella scienza e nella tecnologia dei colori, meno essi vengono usati nella vita quotidiana dai parlanti. Ciò non segue solo da limiti delle nostre capacità cognitive di discriminare tonalità di colore: vi è una sorta di limite nel dare nomi alle tonalità di colore dovuto agli scopi pratici della comunicazione. Se i parlanti si riferissero ai colori dando loro i nomi usati nelle scienze (per esempio, usando dei codici numerici per riferirsi all’esatta tonalità e intensità di colore), la comunicazione perderebbe di efficacia: ciò sarebbe una limitazione alla comunicazione, almeno a quella ordinaria.

61Inoltre, il numero delle tonalità di colore è molto più alto del numero di parole che usiamo per riferirci ai colori. Per capire perché, si osservi che (1) è un dato di fatto che vi è una certa variabilità nella discriminazione dei colori tra osservatori diversi, (2) le persone osservano colori anche sotto condizioni particolari quali per esempio il cambiamento di luce, i contrasti, le ombre, e queste condizioni rendono problematica la comparazione dei colori tra loro, e infine (3) è più difficile comparare un colore con uno standard “mentale” (come lo standard di “rosso” che uno può aver visto nella Carta di Munsell) che con un altro colore percepito nello stesso momento.

  • 15Ivi: 230.

62La percezione dei colori è dunque influenzata da molti fattori e l’uso dei predicati di colore è spesso impreciso. Hardin suggerisce che per rispondere a una risposta come “Quali sono i confini di ‘rosso’?” sia necessario innanzitutto «specificare, esplicitamente o meno, un contesto e un livello di precisione ed […] essere consapevoli del margine di errore o indeterminatezza che quel contesto e quel livello portano con sé»15.

63Nell’analisi che segue, vorremmo mostrare come il framework proposto da De Clercq e Horsten possa essere migliorato considerando l’uso dei criteri d’identità in un contesto e sotto un certo livello di precisione (o livello granulare). Inoltre, concordiamo con Hardin nel ritenere che la natura dei nostri scopi impone dei limiti alla precisione delle nostre affermazioni: così, per esempio, un insieme troppo ampio di predicati di colore renderebbe i nostri giudizi più precisi, ma renderebbe inefficace la comunicazione tra agenti.

64Il criterio d’identità per i colori è un esempio di criterio che ha principalmente una funzione epistemica: non sappiamo, infatti, con precisione se alcuni colori siano tra loro identici o meno. Nell’usare il criterio d’identità per i colori espresso nei paragrafi precedenti noi – in quanto parlanti di un linguaggio naturale – ci basiamo sulla nostra percezione, che è però, per vari aspetti, fallibile, e perciò esprimiamo criteri d’identità per colori in un modo logicamente inadeguato. Williamson – così come De Clercq e Horsten – ritengono che vi siano criteri d’identità logicamente adeguati e cercano di catturarli approssimando i criteri d’identità comunemente usati, intuitivamente buoni ma logicamente inadeguati.

65Consideriamo, ora, le seguenti variazioni dell’esempio di criteri d’identità per colori percepiti.

Esempio 3. Consideriamo due macchie monocromatiche, A e B. Supponiamo di non notare alcuna differenza rispetto al loro colore. Per il criterio d’identità dei colori, il colore di A è identico al colore di B. Aggiungiamo due macchie monocromatiche, C e D, che sono distinguibili tra loro. Tuttavia, A è indistinguibile da C e B da D. In tale scenario, possiamo cambiare il nostro giudizio d’identità e dire che A e B hanno colori distinti.

Esempio 4. Vediamo due macchie monocromatiche, A e B, da lontano e non distinguiamo il colore di A da quello di B. Diciamo che A e B hanno lo stesso colore. Avvicinandoci ad A e B, invece, riusciamo a notare una differenza nel loro colore. Dunque, ora diciamo che A e B hanno colori distinti.

Esempio 5. Consideriamo due macchie monocromatiche, A e B, e supponiamo di vederle entrambe egualmente arancioni. Ma un nostro amico, che è un pittore particolarmente sensibile a discriminare sfumature di colore, ci dice che percepisce una differenza tra A e B: B tende di più al giallo rispetto ad A. Perciò, secondo la percezione dei colori del nostro amico, più raffinata della nostra, esistono più differenze tra esempi di colore di quante riusciamo a considerare.

66L’esempio 3 mostra che i nostri giudizi d’identità sui colori dipendono fortemente dai contesti (estensionalmente intesi) all’interno dei quali compariamo le macchie di colore in un preciso istante. Detto altrimenti, comparare un colore con uno, due o più macchie di colori può generare giudizi d’identità diversi. In termini di condizioni d’identità ciò significa che una relazione R espressa da un criterio d’identità può avere estensioni diverse a seconda del contesto. Per esempio, consideriamo un dominio D = {a, b, c, d, e} e un contesto o = {a, b}. o è un sottoinsieme di D. Supponiamo R = {*ab} relativamente al contesto o. Consideriamo ora un contesto più ampio, o´, contenente sia a che b ma anche altri elementi di D: o´ = {a, b, c, d}. Nulla vieta che in o´ vi siano *ac e *ad, ma non *ab, tra le coppie ordinate da R.

67Gli esempi 4 e 5 presentano un problema diverso rispetto all’esempio 3. Dato un medesimo contesto, R varia tra diversi livelli di osservazione. Quando si guarda un insieme di oggetti da lontano, si sta assumendo un livello di osservazione grossolano. Avvicinandosi sempre di più agli oggetti osservati, è possibile notare delle differenze più marcate, perciò i nostri giudizi d’identità sugli oggetti possono cambiare quando passiamo da punti di vista meno precisi a punti di vista più precisi. Il punto di vista dell’artista nell’esempio 5 può essere pensato come un livello di osservazione estremamente raffinato. In breve, si possono considerare gli elementi di un contesto sotto diversi standard di precisione, ognuno dei quali corrispondente a un livello granulare di osservazione. Più è raffinato il livello di osservazione, maggiori sono le differenze che si possono notare.

  • 16  De Clercq e Horsten 2005.

68Nel paragrafo seguente cercheremo innanzitutto di formalizzare le nozioni di contesto e livello granulare e successivamente integrare tali nozioni al trattamento formale delle relazioni approssimate fornito da De Clercq e Horsten16.

7. Modelli granulari

69Sia L un linguaggio formale che consiste in:

– simboli di costanti individuali: ´a, ´b, … (vi è un simbolo per ciascun elemento del dominio);

– variabili individuali: x0´ x1´ x2,…;

– predicate a due posti: P1´ P2´ …;

– i soliti connettivi logici con identità e quantificatori.

70L’insieme dei termini è costituito dalle costanti e dalle variabili individuali. Le formule sono definite in modo standard.

71Diamo ora un’interpretazione a L e presentiamone un modello che sia in grado di catturare in modo formale il trattamento dei criteri d’identità informalmente presentato nella sezione precedente. Sia D un dominio di oggetti fisso e non vuoto. Definiamo i contesti o, o´, o´´, … come sottoinsiemi di D. Dunque, l’insieme di tutti i contesti O in D è l’insieme potenza di D tale che:

O = -( DK).

72Interpretiamo ora il predicato a due posti R come una relazione binaria, riflessiva e simmetrica ma non necessariamente transitiva. R è una relazione primitiva (non definita su altri predicati). R rappresenta la condizione d’identità tra elementi del dominio, ovvero una relazione di indistinguibilità (relativamente a una certa caratteristica). R ordina gli elementi del dominio a coppie in modo tale che gli elementi delle coppie siano indistinguibili secondo la condizione che R rappresenta. Per esempio, nel caso delle macchie di colore R genera un insieme di coppie ordinate, ognuna delle quali consiste in elementi indistinguibili relativamente al loro colore (percepito). R è dunque la relazione che rende possibili giudizi d’identità sugli elementi del dominio.

73Sia M = <D, R> una struttura granulare. M è una struttura costituita dal dominio D, insieme con l’insieme O di contesti in D, e da una relazione R.

74Per rendere ragione degli esempi 3-5 formulati sopra, postuliamo che R vari tra contesti. Prima di fornire una definizione formale, consideriamo un altro esempio. Dato un certo dominio D={a, b, c, d}, isoliamo tre sottoinsiemi di D, ovvero tre contesti:

o´ = {a,b}

o´´ = {a,b,c}

o´´´ = {a,b,c,d}

75Osserviamo che alcuni elementi, precisamente a e b, sono comuni a tutti i contesti, mentre c è in due di loro. Consideriamo ora la struttura granulare M´ = <D, R´> e assumiamo che non sia una struttura particolarmente raffinata. Supponiamo, dunque, che R’ dia origine ai seguenti insiemi di coppie ordinate (uno per ciascun contesto):

R´(o´) = {*ab}

R´(o´´) = {*ab}

R´(o´´´) = {*ac, *bd}

76Da questa rappresentazione risulta che gli elementi a e b stanno in relazione R’ nei contesti o´ e o´´, ma non nel contesto o´´´. Ciò significa che, data una certa struttura granulare M, R può variare da un contesto all’altro. Formalmente:

Definizione 1. Data una struttura granulare M e dati due contesti o´e o´´, R varia tra o´ e o´´ sse vi è un’intersezione non vuota o* = o´ ∩ o´´ ≠ ∅, tale che ∃xo* ∃yo*: (*xyR(o´) ∧ *xyR(o´´)) ∨ (*xyR(o´´) ∧ *xyR(o´)).

77Se, dunque, in una struttura granulare M la relazione R non risulta essere transitiva relativamente ad alcuni (se non tutti) contesti o´´ O, allora si applica il framework formale di De Clercq e Horsten. Per ogni R in ciascun contesto o può essere definita la relazione d’equivalenza R±. Se una relazione R è transitiva in un contesto o, allora in quel caso R± coincide con R stessa, mentre nei contesti dove R non è transitiva, R± denoterà una relazione che differisce da R per il fatto che essa aggiunge e/o rimuove alcune coppie ordinate di R, come descritto da De Clercq e Horsten (ovviamente, se si preferiscono, per ragioni diverse da quelle offerte in questo lavoro, gli approcci di Williamson a quello di De Clercq e Horsten, si definiranno le approssimazioni R+ o R- anziché R±).

78R non solo varia (possibilmente) da un contesto all’altro, ma varia anche da un livello granulare e a un altro, come hanno mostrato gli esempi 4 e 5 sopra. La nozione di contesto si riferisce al numero di elementi considerati per compararli tra loro relativamente a una certa proprietà e formulare giudizi d’identità; tale nozione è stata caratterizzata estensionalmente. La nozione di livello granulare ha invece natura epistemica e sarà caratterizzata in modo indiretto. Ogni struttura granulare è relativizzata a un certo livello granulare, ovvero al livello di precisione con cui la relazione R ordina gli elementi nei contesti. Detto altrimenti, dato lo stesso contesto o´´ O, le relazioni R di strutture granulari diverse possono generare diversi insieme di coppie ordinate per o. Se tutti gli elementi di o sono tra loro in relazione R, significa che non è percepita nessuna differenza tra essi relativamente a una qualche proprietà, perciò gli elementi sono considerati indistinguibili. La struttura granulare a cui appartiene la relazione R ha un livello di granularità poco raffinato, in quanto non riesce a notare differenze tra gli elementi del contesto. Al contrario, in una struttura granulare più raffinata ci saranno alcuni elementi che non stanno in relazione R tra loro, ovvero non sono indistinguibili. Avremo quindi un insieme di coppie ordinate più piccolo di quello generato nella struttura granulare più grossolana.

79Consideriamo un ulteriore esempio. Prendiamo il contesto o´´ già definito nell’esempio precedente: o´´ = {a, b, c}. Nella struttura granulare M´ = <D, R´> definita sopra solo a e b stanno tra loro in relazione R. Consideriamo ora una seconda struttura granulare, M´´ = <D, R´´>. R´ e R´´ hanno la stessa interpretazione intuitiva, ovvero si riferiscono alla stessa condizione d’identità; nel caso dei colori, si riferiranno alla relazione intuitiva …essere percettivamente indistinguibile da…. In M´´ nessun elemento del contesto o´´ è in relazione con altri elementi: ognuno è distinto dagli altri. Ciò significa che l’insieme delle coppie ordinate generato da R´´ è vuoto. La struttura granulare M´´ è perciò in grado di distinguere ogni oggetto di o dagli altri e perciò corrisponde a un livello di granularità più raffinato.

80Da queste semplici osservazioni possiamo definire alcune condizioni relativamente alle strutture granulari, e in particolare la relazione, tra strutture granulari, …essere raffinata almeno quanto…. Fissato un contesto o, infatti, possiamo comparare tra loro le strutture granulari in base al numero di coppie ordinate che la loro relazione genera. In modo informale, possiamo dire che, dato o, una struttura granulare è raffinata almeno quanto la struttura M´´ se e solo se il numero di coppie di elementi tra loro indistinguibili generato dalla relazione di è pari o superiore al numero di coppie generato dalla relazione di R´´. Per definire appropriatamente la relazione definiamo per prima cosa la relazione tra cardinalità di insiemi ≤c:

Definizione 2. Dato un contesto o´´ O e due strutture granulari M´ e M´´, per ogni coppia *xy in M´ e *xy in M´´, 2{*xy M´}2c2{*xy M´´}2 se e solo se il numero di *xy in M´ è minore o uguale al numero di *xy in M´´ (relativamente a o).

81Possiamo infine definire la relazione “… essere raffinata almeno quanto…” in riferimento a un qualche contesto o come segue:

Definizione 3. Dato un contesto o´´ O e due strutture granulari M´ e M´´, M´ è raffinata almento quanto M´´ se e solo se il numero di coppie *xy M´ è minore o uguale al numero di coppie *xy M´´, ovvero:

82M´ ≤* M´´ se e solo se {*xy }2≤c2{*xy M´´}2

83Di seguito alcune ulteriori considerazioni sulle strutture granulari. Dato un contesto o, nulla vieta che le relazioni di più strutture granulari di precisione differente generino lo stesso insieme di coppie ordinate. Pensiamo ancora una volta al caso dei colori. Consideriamo due macchie monocromatiche e supponiamo di guardarle da due livelli di precisione diversi, e tuttavia di riuscire a distinguere i colori delle macchie da entrambi i punti di vista. Supponiamo di aggiungere un’altra macchia. Ancora una volta, entrambe le strutture riconoscono la differenza di colore tra le tre macchie. Aggiungiamo una terza macchia. Ora, la struttura granulare più raffinata riconosce ancora le quattro macchie come aventi differente colore, mentre l’altra struttura riconosce il colore dell’ultima macchia indistinguibile da quello di una delle prime tre. Mentre, quindi, relativamente ai primi contesti le due strutture non sembravano essere diverse per livello di precisione, in quest’ultimo esse risultano corrispondere a livelli granulari diversi. In questo articolo, tuttavia, ci limitiamo a offrire una definizione per determinare quando due strutture granulari sono associate a livelli granulari differenti, tralasciando in questa sede di definire la relazione (complessa), tra strutture granulari. “… essere raffinata almeno quanto…” in riferimento a tutto l’insieme dei contesti e non a un solo contesto.

Definizione 4. Date due strutture granulari M´ = {D,R´} e M´´= {D,R´´}, M´ e M´´ corrispondono a livelli granulari diversi se e solo se esiste un contesto o tale che:

xoyo: (*xyR´(o) ∧ *xyR´´(o)) ∨ (*xyR´´(o) ∧ *xyR(o)).

8. Conclusioni

84Ci chiediamo: se i criteri d’identità hanno la funzione di rispondere alle domande (EQ), (OQ) e (SQ), quali tra queste domande riceve una risposta dai criteri d’identità intuitivi che contengono una relazione R non transitiva? Inoltre, un criterio d’identità con una relazione approssimata come R± risponde alla stessa domanda o a una diversa da quelle sopra formulate?

85Sembra plausibile sostenere che un criterio d’identità contenente una relazione R dia una risposta a (EQ). Riprendiamo ancora una volta l’esempio dei colori. Come abbiamo visto, non sappiamo con precisione se i due colori percepiti sono identici o meno. Per esprimere un giudizio d’identità sui colori ci basiamo infatti sulla nostra percezione, che è chiaramente fallibile. Perciò, il criterio d’identità per colori che usiamo, anche se non è logicamente adeguato, è pur tuttavia sufficiente per i nostri scopi pragmatici o epistemici legati alla comunicazione verbale.

86La relazione approssimata è invece logicamente adeguata, sebbene non corrisponda a una condizione intuitiva d’identità. Grazie al fatto che R è una relazione d’equivalenza possiamo determinare ontologicamente se due elementi sono identici. Essa dunque sembra rispondere alla domanda (OQ).

87I criteri d’identità sono molto spesso tema di dibattito filosofico. Tuttavia, i requisiti formali che essi devono rispettare sono raramente considerati. In questo articolo abbiamo elencato alcuni di questi requisiti formali e ci siamo focalizzati su alcuni criteri d’identità che non soddisfano uno di questi, quello di equivalenza (transitività). Anziché rifiutare questi criteri d’identità in quanto logicamente inadatti, abbiamo considerato la proposta di Williamson e De Clercq e Horsten di approssimare le relazioni non transitive e ottenere così criteri d’identità formalmente corretti. Abbiamo quindi cercato di migliorare l’approccio proposto da De Clercq e Horsten. Proponiamo di trattare i criteri d’identità all’interno di un modello a contesti e strutture granulari. Prima di definire e scegliere la migliore approssimazione a una relazione riflessiva e simmetrica, ma non transitiva, R, è necessario fissare un contesto e un livello granulare di osservazione. Se, fissato un livello granulare, R non risulta transitiva in un contesto, si definisce la migliore approssimazione a R relativamente a quel contesto e a quel livello granulare. Lo scopo del nostro contributo è quello di fare un piccolo passo verso una teoria formale dei criteri d’identità. Non affrontiamo qui invece le ragioni filosofiche per una tale scelta.

Torna su

Bibliografia

Brant, M.

– 1977, Identity conditions for events, “American Philosophical Quarterly”, 14: 329-337

Carrara, M. e Giaretta, P.

– 2001, Identity criteria and sortal concepts, in Proceedings of the International Conference on Formal Ontology in Information Systems (FOIS 01): 234-243

Davidson, D.

– 1969, The Individuation of Events, in N. Rescher (a c. di), Essays In Honour of Carl G. Hempel, Dordrecht, Reidel: 216-234; tr. it. di R. Brigati, Eventi mentali, in Azioni ed eventi, Bologna, il Mulino, 1992: 265-282

– 1980, Essays on Actions and Events, Oxford, Clarendon Press; tr. it. Azioni ed eventi, Bologna, il Mulino, 1992

De Clercq, R. e Horsten, L.

– 2005, Closer, “Synthese”, 146: 371-393

Devitt, M.

–1991, Realism and Truth, Oxford, Blackwell

Frege, G.

– 1884, Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau, Koebner

Hardin, L.

– 1988, Phenomenal colors and sorites, “Noûs”, 22: 213-234

Linnebo, Ø.

– 2005, To be is to be an f, “Dialectica”, 59: 201-222

Lombard, L.B.

– 1986, Events: A Metaphysical Study, London, Routledge & Kegan Paul

Lowe, J.

– 1991, One-level versus two-level identity criteria, “Analysis”, 51: 192-194

– 1997, Objects and Identity Criteria, in B. Hale e C. Wright (a c. di), A Companion to the Philosophy of Language, Oxford, Blackwell: 613-633

Quine, W.V.O.

– 1953, From a Logical Point of View, Cambridge (Mass.), Harvard University Press

– 1985, Events and Reification, in: E. Lepore e B. McLaughlin (a c. di), Actions and Events. Perspectives on the Philosophy of Donald Davidson, Oxford, Blackwell: 162-171

Williamson, T.

– 1986, Criteria of identity and the axiom of choice, “The Journal of Philosophy”, 83: 380-394

– 1990, Identity and Discrimination, Oxford, Blackwell

Torna su

Note

1  Davidson 1969.

2  Frege 1884, §62.

3  Williamson 1986: 145-146.

4Ivi: 147.

5  Lombard 1986.

6  Frege 1884: §66.

7Ibidem.

8  Frege 1884: §66.

9  Quine 1985: 166.

10  Williamson 1986; 1990.

11  De Clercq e Horsten 2005.

12  Williamson 1986.

13  Williamson 1990.

14  Hardin 1988.

15Ivi: 230.

16  De Clercq e Horsten 2005.

Torna su

Per citare questo articolo

Notizia bibliografica

Massimiliano Carrara e Silvia Gaio, « 2.4. Criteri d’identità e adeguatezza logica », Rivista di estetica, 49 | 2012, 141-160.

Notizia bibliografica digitale

Massimiliano Carrara e Silvia Gaio, « 2.4. Criteri d’identità e adeguatezza logica », Rivista di estetica [Online], 49 | 2012, online dal 30 novembre 2015, consultato il 23 novembre 2017. URL : http://estetica.revues.org/1703 ; DOI : 10.4000/estetica.1703

Torna su

Autori

Massimiliano Carrara

Articoli dello stesso autore

Silvia Gaio

Torna su

Diritti d'autore

Licenza Creative Commons
Rivista di Estetica è distribuita con Licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate 4.0 Internazionale.

Torna su
  • Logo Rosenberg & Sellier
  • Revues.org