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Il sorite come teoria formale

Maurizio Negri
p. 221-238

Abstract

The sorites as a formal theory. The sorites paradox has been understood as a failure of classical logic and a way out can be found by choosing a non classical logic (fuzzy logic, for instance). We understand the sorites not as a problem of logic but of ontology, so we preserve classical logic and submit the premisses of the argument to a deeper analysis. As a result we obtain two theories for soritical arguments and enlighten the kind of structure requested by these arguments. The former theory has a lattice theoretic flavor and is fitted for paradoxes like “the heap” and “the bald man”; the latter is group theoretic in character and can manage paradoxes based on observational predicates like “tall”, “red” and so on. In both cases the contradiction is derived from a larger set of hypotheses than in usual analysis and some of these hypotheses make assertions whose empirical meaning can be questioned.

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Testo integrale

  • 1  R.M. Sainsbury dà la seguente definizione di paradosso: «an apparently unacceptable conclusion der (...)

1Un paradosso è un insieme di enunciati dal quale si può ricavare una contraddizione con un’argomentazione logicamente corretta. Equivalentemente, è un insieme di enunciati che non ha modelli e quindi non descrive nessun tipo di realtà. Ciò che rende un insieme contraddittorio di enunciati un paradosso è l’apparente plausibilità della loro assunzione collettiva, la nostra propensione a credere che ci sia almeno una situazione in cui possano essere tutti simultaneamente veri.1 Nell’individuazione dell’insieme di enunciati che costituisce un paradosso si compiono delle scelte fondamentali che orientano tutto il percorso successivo verso la comprensione e la soluzione del problema. Il paradosso di Russell, per esempio, si può pensare come il risultato dell’inserimento nella teoria degli insiemi dello schema d’assioma di comprensione ∃y∀x(x∈y↔α(x)), dove α è una formula che non contiene y. Poiché la dimostrazione di una contraddizione che si può ottenere dallo schema di comprensione, in particolare dall’esempio ottenuto ponendo x∉x al posto di α(x), si svolge nella logica pura, senza coinvolgere gli altri assiomi della teoria degli insiemi, il processo di revisione della teoria dovrà riguardare solo lo schema di comprensione. Il paradosso del mentitore si può pensare costituito dai due enunciati T(|α|)↔α e α↔¬T(|α|), dove il primo è un esempio dello schema di Tarski che caratterizza il predicato di verità T e il secondo stabilisce che α è un enunciato che “dice di sé” di essere falso. (Con |α| indichiamo un nome di α.) Formulato in questo modo il paradosso sembra piuttosto banale per l’evidente contraddittorietà dell’assunzione simultanea dei due enunciati, inoltre può non essere chiaro quale dei due enunciati formuli l’asserzione più problematica e quindi quale dei due convenga abbandonare. Infine il paradosso deriva dall’assunzione che esista un predicato T che soddisfi queste condizioni, il che non è affatto evidente. Ma l’impressione di banalità scompare se al posto dell’enunciato che dice di sé di essere falso sostituiamo una serie di condizioni che permettono di derivarlo, per esempio una teoria che contiene l’Aritmetica. È noto, infatti, che ogni teoria che contenga una porzione adeguata dell’Aritmetica è in grado di dimostrare, per ogni proprietà espressa da una sua formula β(x), l’equivalenza γ↔β(|γ|) per un certo enunciato γ. Questo risultato, noto come lemma di diagonalizzazione, permette di concludere che se il predicato di verità fosse esprimibile da una formula, allora esisterebbe un enunciato in grado di asserire la propria falsità. Riformulato in questi termini il paradosso, possiamo scegliere se abbandonare l’Aritmetica o la pretesa di avere un predicato di verità universale che ci fornisca lo schema di Tarski nella sua forma più generale.

  • 2  L’articolo si trova in Bochvar 1938. Un’esposizione della soluzione proposta da Bochvar si trova i (...)
  • 3  Kripke 1975.

2Un paradosso si può eliminare riconoscendo la falsità di qualcuno degli enunciati che lo costituiscono. In genere la scelta degli assiomi da abbandonare non è scontata. In primo luogo, se la teoria contiene un numero infinito di assiomi sappiamo dal teorema di compattezza che la responsabilità della contraddizione è sempre ascrivibile a un insieme finito (e quindi a un singolo assioma), ma l’individuazione di un tale insieme non è in genere ottenibile con metodi effettivi. Inoltre, una volta individuato l’assioma da sostituire, non lo si rimpiazzerà semplicemente con la sua negazione, come in una banale applicazione della reductio. Per esempio, il paradosso di Russell può essere eliminato sostituendo lo schema di comprensione illimitato con uno schema d’assiomi più debole; il paradosso del mentitore può essere eliminato limitando lo schema di Tarski in modo che il predicato di verità si applichi solo a enunciati che non contengono il predicato di verità. Questa è la soluzione più semplice o meno costosa in termini epistemologici, ma è anche possibile uscire dal paradosso accettando la verità degli enunciati che lo costituiscono e cambiando la logica, in modo che la contraddizione non sia più derivabile o che la derivabilità di una contraddizione non abbia più l’effetto devastante che ha nella logica classica, per esempio ricorrendo a una logica parziale o trivalente, come nel caso di Bochvar2 per la teoria degli insiemi e di Kripke3 per il predicato di verità. È questo un aspetto tipico del paradosso che lo distingue da una semplice teoria contraddittoria: invece di ottenere la semplice negazione di un’assunzione che aveva un convincente aspetto di verità e una solida tradizione in un certo ambito del sapere, si può arrivare a una revisione dell’intero quadro concettuale in cui si definiscono le nozioni semantiche fondamentali di denotazione, verità e conseguenza logica.

  • 4  Per una soluzione del paradosso basata sulla logica dei comparativi, si veda Paoli 2003; sul probl (...)
  • 5  Si veda a questo proposito Grunbaum 1952.

3In questo lavoro ci occuperemo del sorite avendo come scopo principale la sua formulazione come insieme di enunciati di un linguaggio formale: ciò è banale al livello di analisi della logica enunciativa, ma lo è meno al livello della logica predicativa, dove la maggior articolazione del linguaggio permette di individuare più chiaramente il tipo di realtà a cui il sorite fa riferimento. Vedremo che gli argomenti che sono tradizionalmente classificati come sorite si possono ricondurre a due teorie formali. Come risultato della formalizzazione sarà possibile individuare un’ontologia minimale per il sorite. Una volta chiarito quale sia il minimo che bisogna concedere sul piano degli enti perché sia possibile allestire un’argomentazione di tipo soritico, si potrà decidere quale assioma abbandonare per risolvere il paradosso restando nell’ambito della logica classica4. Questo modo di affrontare il problema posto dal sorite è simile a quello utilizzato per i paradossi di Zenone sulla pluralità degli enti, dove si è riconosciuto che la soluzione non consisteva in una riforma della logica che rendesse formalmente scorretto l’argomento di Zenone, ma nel caratterizzare con maggiore chiarezza gli enti coinvolti. Se la divisibilità all’infinito e soprattutto l’esistenza degli infinitesimi permettevano di dimostrare contraddizioni, si è pensato di regimentare in modo diverso l’ambito di realtà costituito dai continui lineari, il cui prototipo è la retta, dando origine a una teoria del continuo che alla fine è approdata alla definizione di numero reale e di misura dell’Analisi moderna5.

4Prima di introdurre una teoria formale del sorite conviene dare una presentazione intuitiva di questo paradosso. Le varie formulazioni del sorite si possono ridurre, a nostro avviso, a due tipi fondamentali. Il prototipo del primo tipo è il paradosso del piccolo. Indichiamo con αi l’enunciato “un insieme di i elementi è piccolo”. Consideriamo l’insieme di enunciati Γ={α0, α0→α1,…,αn-1→αn, ¬αn}. La verità della α0 sembra evidente e, se si sceglie un valore di n abbastanza grande, anche ¬αn risulta essere intuitivamente vera. Quanto alle assunzioni restanti dobbiamo accettarle tutte come vere, perché se ve ne fosse una falsa, per esempio αi→αi+1, dovremmo essere in grado di indicare un numero i tale che un insieme di i elementi è piccolo, mentre uno che ne ha i+1 non lo è; sembra tuttavia impossibile che la crescita di una sola unità sia in grado di trasformare un insieme piccolo in uno grande. Per esempio, un discorso di una sola parola è certamente piccolo e non è verosimile che l’aggiunta di una sola parola possa trasformare un discorso piccolo in uno che non lo è, tuttavia un discorso di un milione di parole certamente non è piccolo. Il fatto che αn sia conseguenza logica enunciativa di {α0, α0→α1,…,αn-1→αn} e quindi a fortiori di Γ, mostra che Γ è contraddittorio. L’impressione che Γ sembri descrivere in modo plausibile la realtà è alla radice dell’imbarazzo che proviamo nello scegliere un enunciato di Γ da respingere.

  • 6  Diogene Laerzio 2005: 82.

5Varianti che non mutano la sostanza dell’argomento sono il paradosso del mucchio, del calvo, del povero. Questo tipo di sorite era noto ai filosofi greci dal iv secolo a.C. e una formulazione chiara si può trovare in Diogene Laerzio: «Non può essere che il due sia poco e che non lo sia anche il tre. E non può essere vero, d’altra parte, che quest’ultimo numero sia poco e che non lo sia anche il quattro, e così via fino al dieci; ora, il due è poco: dunque lo è anche il dieci»6. L’implicazione α→β è espressa, secondo l’usanza degli stoici, come ¬α∨β, in modo che sia intesa come implicazione materiale.

6Il prototipo del secondo tipo di sorite è il paradosso del basso. Consideriamo l’insieme degli esseri umani e supponiamo che Tizio, la cui altezza è di h millimetri, sia basso. Indichiamo con β1 l’asserzione “Tizio è basso”. Supponiamo inoltre che se le altezze di due esseri umani differiscono di un millimetro e uno di essi è basso, anche l’altro lo sia. Indichiamo con β2 questa ulteriore ipotesi. Consideriamo infine Caio, di altezza k, e supponiamo che questo valore dell’altezza ci porti ad asserire che Caio non è basso. Indichiamo con ¬β3 questa asserzione. È possibile dimostrare che anche Caio è basso e quindi ∆={β1, β2, ¬β3} è contraddittorio. Infatti supponiamo che sia h<k e che per ogni h<i<k ci sia qualcuno di altezza i; è allora possibile ottenere una catena di individui, le cui altezze differiscono di un millimetro, che unisce Tizio a Caio e trasmette la proprietà “essere basso” dall’uno all’altro. Se k<h si procede in modo analogo e se h=k il risultato è evidente. Che cosa distingue questo argomento dal precedente? Innanzitutto i numeri coinvolti non sono solo i naturali, ma i reali positivi. (Per dare maggiore generalità al discorso trascuriamo il fatto che si potrebbe porre un confine superiore alle altezze degli esseri umani, come del resto al numero di granelli di sabbia di un mucchio e così via.) Inoltre la derivazione di β3 da ∆ coinvolge in modo essenziale il contenuto predicativo delle formule di ∆ e non è immediatamente riconducibile a una catena di applicazioni di modus ponens.

  • 7  Goguen 1969: 328-330.
  • 8  Black 1937 e 1963; Russell 1923.
  • 9  Walzer 1947: 114.
  • 10Ac, II \ xxix 92.

7Questo argomento è una riformulazione del paradosso presentato da Goguen7 nella sua analisi del sorite in termini di fuzzy logic, ma lo stesso argomento è ben presente a Black e Russell8, secondo i quali si tratta di un paradosso connesso in generale a termini la cui applicazione richiede la ricognizione della presenza di qualità sensibili. La stessa consapevolezza della vastità dell’ambito di applicazione di questo paradosso si può trovare in Galeno e Cicerone. Secondo il primo «non deve esistere al mondo una cosa come un mucchio di granelli, una massa o sazietà, e nemmeno una montagna, un grande amore, una fila, un vento forte, una città e nessuna di quelle cose che per il nome o l’idea abbiano una misura di estensione o di numerosità, come un’onda, il mare aperto, un gregge di pecore e una mandria di bestiame, una nazione e una folla»9. E quanto al secondo «la natura non ci ha fornito una conoscenza dei limiti in modo da poter determinare, in ogni ambito, quanto ci si possa spingere innanzi; e ciò non vale solo nel caso del mucchio di grano, da cui deriva il nome [sorite], ma assolutamente in nessun ambito, se ci vengono poste domande gradualmente - è ricco o povero, famoso o oscuro, sono pochi o molti, grandi o piccoli, lunghi o corti? - sappiamo quanto bisogni aggiungere o sottrarre per poter dare una risposta definita»10. Le parole di Galeno, che individuano nella misurabilità il tratto comune dei predicati che danno origine al sorite, si possono considerare come un principio ispiratore dall’analisi seguente.

8Cerchiamo di isolare gli ingredienti fondamentali del primo tipo di sorite, in modo da darne una formulazione generale. Innanzitutto osserviamo che l’insieme di enunciati Γ non è soddisfacente, perché arresta l’analisi al livello della logica enunciativa. Se ciò è utile per semplificare la logica dell’argomentazione, riducendola a una catena di applicazioni di modus ponens, non ci permette però di caratterizzare gli enti coinvolti. In tutti i casi del sorite di primo tipo siamo di fronte a una realtà che può essere rappresentata da una struttura con due sorte di oggetti: una costituita da Pω(A), l’insieme di tutti i sottoinsiemi finiti di un dato insieme infinito A, e l’altra costituita da un modello dell’Aritmetica del primo ordine che indicheremo con N. La struttura è dotata di un predicato P⊆ Pω(A) e di una funzione f:Pω(A)→N che associa a ogni insieme la sua cardinalità. Nel paradosso del mucchio A è l’insieme di tutti i granelli di sabbia, P la proprietà “non essere un mucchio”, nel paradosso del calvo A è l’insieme dei capelli e P la proprietà “essere l’insieme dei capelli di un calvo” e così via. Naturalmente la natura degli oggetti di A non conta e quindi possiamo limitarci a parlare in astratto di insiemi finiti: ciò che conta è la possibilità di misurare la loro cardinalità. Si potrebbe obiettare che non occorre supporre un dominio infinito: dopotutto ogni specifico esempio di sorite coinvolge solo un segmento iniziale dei numeri naturali. D’altra parte è chiaro che sarebbe arbitrario fissare un numero n e dichiarare che il sorite riguarda insiemi di cardinalità minore o uguale a n e quindi, se vogliamo una formulazione adeguatamente generale, dobbiamo avere a disposizione insiemi finiti arbitrariamente grandi.

9A questo punto possiamo ridurre gli enunciati che costituiscono un sorite di primo tipo agli assiomi seguenti:

 

10γ1) ∃xP(x),

11γ2) ∃x¬P(x),

12γ3) ∀xy(P(x)&f(y)=f(x)+1→P(y)),

13γ4) ∀xy(P(x)&f(y)≤f(x)→P(y)),

14γ5) ∀n∃x(f(x)=n).

 

15Le variabili x, y variano sugli insiemi finiti, mentre n varia sui naturali. La generalità di questa formulazione del sorite ha comportato due cambiamenti. Innanzitutto non abbiamo specificato un n tale che un insieme contenente n oggetti non sia piccolo, ma ci siamo limitati ad asserire che ∃x¬P(x). Qualsiasi scelta di un valore prefissato n sarebbe discutibile, perché evidentemente n dipende dal predicato P che istituisce il sorite: n granelli potrebbero essere sufficienti per fare un mucchio, ma potrebbero non bastare per rendere non povero un possessore di euro o non calvo un possessore di capelli. Ci basta quindi asserire che esiste qualcosa per cui non vale il predicato in questione. In secondo luogo la catena finita di implicazioni αi→αi+1 ha ceduto il posto all’assioma γ3 che stabilisce un criterio generale di estensione della proprietà P. Non è possibile eliminare questo assioma in favore di una catena finita di implicazioni perché non sapremmo dove farla iniziare e dove farla terminare, ora che non abbiamo più due specifici oggetti che soddisfano rispettivamente P e ¬P. Si noti che non occorre dire che un insieme di cardinalità 0 è piccolo, perché lo possiamo dimostrare dal primo e dal quarto assioma. Dal primo ricaviamo che esiste un insieme piccolo: sia I un tale insieme, allora f(I) è la cardinalità di un insieme piccolo e quindi, per l’assioma γ4 , ogni insieme che ha cardinalità minore o uguale a f(I) deve essere piccolo. Se, come abbiamo supposto, f misura la cardinalità degli insiemi finiti, allora f(Ø )=0 e quindi Ø è piccolo. In questa dimostrazione abbiamo utilizzato anche verità aritmetiche elementari, per esempio il fatto che 0≤ n, per ogni n, e d’altra parte gli assiomi γ3 e γ4 contengono simboli aritmetici: dovremo quindi assumere tra gli enunciati che formano il paradosso anche parte dell’Aritmetica. Ci basterà supporre che il nostro linguaggio contenga i simboli 0,S,+ rispettivamente per lo zero, la funzione successore e la funzione somma, e che la teoria che costituisce il paradosso contenga gli usuali assiomi aritmetici che fissano il significato di tali simboli. (La relazione ≤ non è indispensabile perché risulta definibile.)

16La dimostrazione dell’assurdo avviene nel modo seguente. Per γ1 esiste un insieme I tale che P(I) e per γ2 un insieme J tale che ¬P(J). Siamo invece in grado di dimostrare per induzione che ∀n∀x(f(x)=n→ P(x)). Quindi qualsiasi sia l’elemento n della seconda sorta tale che f(J)=n, e un tale n esiste sempre perché f è una funzione totale, si potrà concludere con P(J), il che è assurdo. La base della dimostrazione per induzione, ∀x(f(x)=0→ P(x)), si ottiene immediatamente mediante γ4 da P(I) e dal fatto che f(x)=0≤f(I). Per dimostrare il passo induttivo assumiamo ∀x(f(x)=n→P(x)) e f(x)=n+1 e dimostriamo P(x). Per γ5) esiste un k della prima sorta tale che f(k)=n, allora dalla prima ipotesi segue P(k) e dalla seconda ipotesi segue f(x)=f(k)+1. Applicando γ3 si ottiene P(x).

17Se supponiamo che la seconda sorta sia costituita solo dai numeri naturali, cosa che possiamo fare collocandoci in un’estensione della logica del primo ordine detta ω-logica, possiamo dare una dimostrazione più intuitiva del fatto che per ogni insieme J valga P(J). Sappiamo che vale P(I) e quindi distinguiamo due casi. Caso 1, f(J)≤ f(I), allora vale P(J), per l’assioma γ4. Caso 2, f(I)<f(J). Sia k=f(J)-f(J). Definiamo una successione (X1,…,Xk+1) di insiemi finiti che inizi con I, termini con J e tale inoltre che due suoi elementi consecutivi abbiano cardinalità consecutive. (Qui abbiamo supposto che f(I) e f(J) siano numeri naturali standard, fatto che non vale necessariamente in ogni modello dell’Aritmetica.) A tale scopo poniamo X1=I, Xk+1=J e per 1<i<k+1 scegliamo come Xi un insieme di cardinalità f(I)+i-1, ossia un elemento qualsiasi dell’insieme f-1(f(I)+i-1). Tali scelte sono sempre possibili perché f è suriettiva, per l’assioma γ5, e quindi f-1 (n) non è mai vuoto. Vale ovviamente f(Xi+1)=f(Xi)+1 per ogni 1≤i≤k e quindi dall’assioma γ3 si ottiene P(J).

18Da entrambe le dimostrazioni risulta chiaramente il ruolo dell’assioma γ5: se f non fosse suriettiva e quindi esistesse una cardinalità n non posseduta da alcun insieme e se sfortunatamente n fosse compreso tra f(I) e f(J), allora la catena che unisce I a J mancherebbe di un anello e la proprietà P non potrebbe trasmettersi fino a J. Questo assioma stabilisce una condizione molto forte sulla realtà: per ogni n dovrà esistere un mucchio di n granelli, una testa con n capelli, un possessore di n euro, e così via. Se dovessimo scegliere tra gli assiomi elencati un responsabile del paradosso, la nostra scelta cadrebbe su γ5.

  • 11  Un reticolo A è relativamente complementato se, presi comunque a e b in A tali che a≤b, il sottore (...)

19Nel loro complesso gli assiomi che abbiamo assunto non dicono granché sugli oggetti delle due sorte. Per quanto riguarda la seconda sorta, abbiamo imposto che sia un modello dell’Aritmetica, senza supporre che coincida coi numeri naturali, fatto che non potrebbe essere garantito da nessun insieme di assiomi aritmetici nel linguaggio del primo ordine. Per quanto riguarda gli oggetti della prima sorta, gli assiomi assunti non dicono nulla che suggerisca una loro interpretazione insiemistica, ma anche se scegliessimo dall’esterno un’interpretazione insiemistica, tali assiomi non sarebbero in grado di garantire che f assegni a ogni insieme la sua cardinalità: infatti la dimostrazione funziona anche quando i valori di f sono scelti arbitrariamente e nulla hanno a che fare con la cardinalità. Aggiungeremo quindi degli assiomi che motivino un’interpretazione insiemistica degli elementi della prima sorta. Osserviamo innanzitutto che, quando A è infinito, Pω(A) dotato di ∩ e ∪ costituisce un’algebra di Boole generalizzata, ossia un reticolo distributivo relativamente complementato11 e dotato di minimo. Osserviamo inoltre che Pω(A) è un reticolo atomico. (Ricordiamo che, dato un reticolo dotato di minimo, un atomo è un elemento a tale che 0≤x≤a implica x=0 o x=a, ossia è un elemento che non ammette elementi intermedi tra sé e lo 0; infine, un reticolo è detto atomico se ogni elemento x≠0 è esprimibile come supX, dove X è un insieme eventualmente infinito di atomi.) A questi assiomi aggiungiamo quindi l’assioma

 

20i) ∀x∃y(y≠0&x∧y=0)

 

21che comporta l’esistenza di infiniti oggetti. Infatti, se A non è banale e contiene almeno un a≠0, allora per i) conterrà anche un b≠0 tale che a∧b=0. Chiaramente deve essere a≠b, altrimenti a=b=0, il che è assurdo. Sempre per i) dovrà esistere un c≠0 tale che (a∨ b) ∧c=0. Ma allora (a ∧ c)∨(b ∧ c)=0 e quindi a ∧ c=0 e b ∧ c=0. Ma allora a≠c e b≠c, e così via.

22In conclusione, supponiamo che la prima sorta soddisfi gli assiomi di reticolo atomico, distributivo e relativamente complementato e l’assioma i). In questo modo si rendono esplicite alcune proprietà di tipo insiemistico degli oggetti che la costituiscono: basta interpretare ∧, ∨, ≤ come ∩, ∪, ⊆ e pensare gli atomi come insiemi unitari. Stabiliamo ora delle condizioni su f che generalizzano il fatto che essa costituisce una valutazione di cardinalità per gli oggetti che costituiscono la prima sorta:

 

23m1) f(e)=1, per ogni atomo e,

24m2) ∀xy(x∧y=0→f(x∨y)=f(x)+f(y)).

 

  • 12  Balbes e Dwinger 1974: 66.

25La prima condizione stabilisce che ogni atomo abbia valutazione 1; in termini insiemistici, ogni insieme unitario abbia cardinalità 1. La seconda stabilisce l’additività della valutazione; in termini insiemistici la cardinalità dell’unione di due insiemi è la somma delle rispettive cardinalità, purché si tratti di insiemi disgiunti. Da m2) segue immediatamente che, per ogni a di A, f(a)=f(a∨0)=f(a)+f(0) e quindi f(0)=0. Osserviamo che a questo punto l’assioma γ5 risulta superfluo, in quanto derivabile da m1), m2) e i). Infatti è possibile dimostrare per induzione che f è suriettiva ossia che ∀n∃x(f(x)=n). Per n=0 ciò risulta immediatamente dall’osservazione precedente. Supponiamo ora che ∃x(f(x)=n) e dimostriamo che ∃x(f(x)=n+1). Sia a tale che f(a)=n; per i) esiste un y non vuoto tale che a∧y=0. Nelle algebre di Boole generalizzate l’atomicità comporta che, per ogni y≠0, esista un atomo e tale che e≤y12; scelto un atomo e di tal genere, abbiamo a∧e=0 e quindi f(a∨e)=f(a)+1=n+1.

  • 13Ivi: 55.

26Se l’assioma i) comporta che la prima sorta contenga un’infinità di oggetti, l’azione combinata di m1) e m2) con gli assiomi di reticolo atomico, distributivo e relativamente complementato ha come effetto che nessun oggetto della prima sorta è “infinito” nel senso che per ogni a esiste solo un numero finito di atomi {e1,…,en} tali che ei≤a; in termini insiemistici, ogni insieme include solo un numero finito di insiemi unitari. Quindi, se pensiamo gli oggetti della prima sorta come insiemi, dobbiamo pensarli come insiemi finiti: tutti gli insiemi finiti ottenibili da un numero infinito di atomi. Per dimostrare questo risultato osserviamo innanzitutto che dagli assiomi di reticolo distributivo relativamente complementato segue la monotonicità di f, ossia x≤y implica f(x)≤f(y). Infatti in ogni reticolo di questo tipo è possibile definire la differenza y-x come il complemento relativo di x∧y in [0,y]13. Quindi si verifica facilmente che se x≤ y, allora x∨(y-x)=y e x∧(y-x)=0. Infine per m2) abbiamo che f(y)=f(x)+f(y-x) e quindi f(x)≤f(y). Dimostriamo ora che ogni elemento a ha sotto di sé solo un numero finito di atomi. Come abbiamo già osservato, l’atomicità del reticolo comporta che esista almeno un atomo e tale che e≤a. Supponiamo per assurdo che l’insieme degli atomi ei tali che ei≤a sia infinito e indichiamolo con {ei:i∈N}. Allora avremmo, per ogni n, e1∨ …∨en≤a e quindi per m2) n≤ f(a). (Si ricordi che gli atomi sono disgiunti per definizione e che per ognuno di essi f ha valore 1) Quindi f(a) non potrebbe essere un numero naturale, il che è assurdo. Si noti, tuttavia, che quest’ultimo passaggio richiede che la seconda sorta sia il modello standard dell’Aritmetica, quindi il carattere “finito” degli elementi della prima sorta è dimostrabile solo sotto questa ipotesi.

27In conclusione, la teoria Γ del sorite di primo tipo deve comprendere gli assiomi γ1,…,γ4 che regolano la proprietà soritica P e i suoi rapporti con f, gli assiomi m1,m2 che forzano un’interpretazione di f come misura di cardinalità, gli assiomi usuali dell’Aritmetica riguardanti gli elementi della seconda sorta e infine, per gli elementi della prima sorta, gli assiomi di reticolo atomico, distributivo e relativamente complementato e l’assioma i). Ora che l’assioma γ5 è scomparso, dovendo scegliere un responsabile del paradosso, indicheremmo i). Tale assioma, grazie anche alla sua forma logica di tipo ∀∃, analoga a quella di γ5, compie un’asserzione difficilmente controllabile dalla quale segue la complessità della prima sorta. Nell’interpretazione classica del sorite come paradosso del mucchio, per ogni insieme di granelli dovrebbe esistere un altro insieme di granelli che non ha nemmeno un granello in comune col primo.

28Come nel sorite di primo tipo avevamo sottoposto a un processo di idealizzazione gli oggetti del discorso, passando da insiemi di granelli a insiemi astratti, così nel sorite di secondo tipo passiamo da oggetti concreti dotati di altezza a segmenti di retta, rappresentanti astratti di tutto ciò che possiede una lunghezza. Se identifichiamo la retta in questione con l’insieme R dei numeri reali, ogni segmento può esere messo in corrispondenza con un intervallo (a,b), dove a<b. Il discorso del sorite verterà quindi su una struttura a due sorte nella quale la prima sorta A sarà l’insieme di tali intervalli e la seconda l’insieme R dei reali. La struttura sarà dotata di un predicato P⊆A, costituito dall’insieme degli intervalli corti, e di una funzione f da A verso R+ che assegna a ogni intervallo (a,b) un numero reale non negativo che chiameremo lunghezza dell’intervallo. (Non è necessario pensare che sia f(a,b)=b-a) Esaminiamo ora più dettagliatamente la dimostrazione che conduce alla contraddizione per metterne in luce le assunzioni. Vi sarà una premessa δ1 che stabilisce l’esistenza di un intervallo corto e una δ2 che stabilisce l’esistenza di un intervallo che non lo è. Occorre quindi assumere una premessa δ3 che garantisca che non risultino discernibili, rispetto all’essere corti, intervalli aventi una differenza di lunghezza minore o uguale a un dato numero reale r. Infine assumeremo una premessa δ4 che stabilisca che ogni lunghezza sia posseduta da qualche intervallo. Possiamo così riassumere le assunzioni che utilizzeremo nella dimostrazione:

 

29δ1) ∃xP(x),

30δ2) ∃x¬P(x)

31δ3) ∃ε∀xy(ε≥0&P(x) &|f(x)-f(y)|≤ε→P(y)),

32δ4) ∀ε∃x(ε≥0→f(x)=ε),

 

33dove le variabili x, y variano sugli oggetti della prima sorta, gli intervalli, e la variabile ε varia su quelli della seconda sorta, i numeri reali. Una volta scelto un numero reale non negativo r come valore di ε, chiamiamo intervallo di indiscernibilità ogni intervallo di numeri reali di ampiezza r, perché gli oggetti le cui immagini in f appartengono a un tale intervallo risultano indiscernibili rispetto a P. Si noti che l’esistenziale in δ2 non è eliminabile scegliendo uno specifico valore per la variabile ε, infatti tale valore dipende sia dalla misura compiuta da f che dall’interpretazione di P. Questo fatto segnala una differenza importante tra i due tipi di sorite. Nel primo tipo di sorite sono indiscernibili due insiemi la cui cardinalità differisce di una unità, oltre a quelli le cui cardinalità sono identiche, quindi l’intervallo di indiscernibilità, preso in N, è fissato una volta per tutte e comprende solo 0 e 1. Nel secondo tipo di sorite l’intervallo di indiscernibilità varia in dipendenza delle interpretazioni di P e f inoltre, adottando i numeri reali come seconda sorta, possiamo chiedere che tale intervallo possa ridursi indefinitamente, senza perciò annullarsi. È chiaro che in questo modo ogni proprietà osservativa finisce per diventare soritica, dati i limiti della capacità di risoluzione di ogni strumento di osservazione.

34Da queste premesse si può ricavare una contraddizione nel modo seguente. Dalla δ1 sappiamo che esiste almeno un intervallo corto (a,b) e dalla δ2 che esiste almeno un intervallo (a',b') che non è corto. Possiamo invece dimostrare che quest’ultimo intervallo è anch’esso corto nel modo seguente. Supponiamo che sia f(a,b)=h e f(a',b')=k e distinguiamo tre casi: i) h=k, ii) h<k e iii) k<h. Nel caso i), poiché la differenza tra le lunghezze dei due intervalli è 0, otteniamo per δ3 e l’ipotesi che il primo sia corto, che anche il secondo lo è. Nel caso ii) distinguiamo due sottocasi. Sottocaso ii a), supponiamo che sia k≤h+r, dove r è il reale positivo ottenuto esemplificando l’esistenziale di δ3. Vale quindi |h-k|≤r e quindi sostituendo |f(a,b)-f(a',b')| ≤ r. Da P(a,b) e da δ3 si può allora concludere con P(a',b').

35Sottocaso ii b), h+r<k. Per il principio di Archimede esiste un naturale n tale che k<h+nr. Sia α(x) la proprietà di naturali {x∈N:k<h+xr}. Tale proprietà non è vuota e quindi, per il principio del minimo, esiste un minimo numero naturale j tale che valga α(j). Abbiamo allora k<h+jr e h+(j-1)r≤ k. Consideriamo quindi la successione di numeri reali positivi

 

36h, h+r,…,h+(j-1)r, k,

 

37osservando che la differenza di due suoi termini consecutivi è sempre minore o uguale a r. In corrispondenza di tale successione definiamo una successione di intervalli

 

38(a,b), [f-1(h+r)],…, [f-1(h+(j-1)r)], (a',b'),

 

39dove [f-1(x)] indica un elemento scelto in f-1(x), al variare di x in R+. Tale scelta è sempre possibile per δ4. Dall’ipotesi P(a,b), mediante j applicazioni dell’assioma δ3, si ottiene P(a',b'). Il caso iii) è trattato in modo analogo.

40I metodi dimostrativi utilizzati fanno appello ad alcune proprietà fondamentali degli elementi della seconda sorta, i numeri reali. Innanzitutto occorre disporre del principio di Archimede, derivabile dall’assioma di completezza. Supporremo quindi che i numeri reali siano assiomatizzati come un campo ordinato che soddisfa l’assioma di completezza, ossia la richiesta che esista il minimo confine superiore di ogni sottoinsieme non vuoto limitato superiormente. Si noti che questo assioma contiene una quantificazione su insiemi e quindi richiede un linguaggio del secondo ordine. Inoltre occorre disporre del principio del minimo che è una conseguenza del buon ordinamento dei numeri naturali, anch’esso derivabile dall’assioma di completezza. Quindi la teoria ∆ del sorite di secondo tipo dovrà comprendere, oltre a δ1- δ4, un’adeguata assiomatizzazione dei reali nella logica del secondo ordine.

41Sarebbe però riduttivo identificare negli intervalli gli oggetti astratti del sorite di secondo tipo, perché è facile immaginare un sorite di questo tipo in cui gli oggetti non rimandino necessariamente a una rappresentazione idealizzata del tipo del segmento: basti pensare a oggetti dotati di qualità sensibili diverse dall’altezza, come il peso, il colore, la capacità di produrre rumore. Cercheremo quindi di caratterizzare mediante ulteriori assiomi la natura degli oggetti della prima sorta, cercando di coglierne le proprietà strutturali che danno luogo al sorite di secondo tipo. Un suggerimento per l’individuazione di queste proprietà ci può venire soprattutto da δ3, che richiede di poter operare una sottrazione sui valori assegnati da f. Poiché le operazioni sui valori di f devono rispecchiare operazioni analoghe sugli argomenti, dovremo disporre di una sottrazione sugli oggetti della prima sorta. Se pensiamo tali oggetti come un gruppo additivo, possiamo definire la sottrazione come somma con l’opposto. Chiederemo infine che il gruppo sia commutativo e che sia dotato di una relazione d’ordine lineare ≤, compatibile con l’operazione del gruppo, ossia che valga x≤y→x+z≤y+z. Fino a questo punto nulla è stato detto su f per caratterizzarla come misura degli elementi della prima sorta, in particolare nulla che riguardi i rapporti tra f e la struttura di gruppo. Nel caso degli intervalli, per esempio, f potrebbe fornire dei valori che non si accordano con ciò che intuitivamente potremmo considerare una misura. Chiediamo allora che f soddisfi gli assiomi seguenti:

 

42f1) f(u)=1,

43f2) ∀xy(f(x+y)=f(x)+f(y)),

44f3) ∀xy(x≤y→ f(x)≤ f(y)).

 

  • 14  Per una dimostrazione di questo teorema, si veda Cercignani 1976: 24.

45Il simbolo +, quando è usato tra elementi della prima sorta, indica l’operazione del gruppo, mentre quando è usato tra elementi della seconda sorta indica l’usuale addizione tra numeri. Il primo assioma stabilisce che un individuo prefissato, scelto arbitrariamente e indicato dalla costante u, funge da unità di misura. Il secondo e il terzo impongono che f sia un morfismo di gruppi ordinati. Che cosa possiamo dire ora sull’interpretazione di f? Supponiamo che l’ordine lineare degli elementi della prima sorta sia anche denso e completo. Ora dati due gruppi commutativi ordinati A e B nei quali l’ordine sia denso e completo, ogni funzione f da A verso B che ponga f(u)=u', dove u∈A, u'∈B sono entrambi diversi dall’elemento neutro, si estende a un unico morfismo, cioè a una funzione che soddisfi f2) e f3). Tale morfismo, inoltre, è una biiezione14. Ora le nostre due sorte sono appunto due gruppi commutativi ordinati e completi. Ponendo f(u)=1 si individua un’unica estensione di f che sia un morfismo, e assumendo f2) e f3) si obbliga l’interpretazione di f a essere un omomorfismo e quindi a coincidere con tale estensione. Per il teorema sopracitato l’omomorfismo in questione è anche suriettivo e questo rende superfluo l’assioma δ4.

46Possiamo riassumere questa analisi identificando la teoria del sorite di secondo tipo con un insieme ∆ di enunciati comprendente δ1- δ3, gli assiomi della teoria dei numeri reali per gli oggetti della seconda sorta, per gli oggetti della prima sorta gli assiomi dei gruppi commutativi ordinati e completi, e gli assiomi f1-f3 che obbligano f a essere un omomorfismo. Nella scelta dell’assioma da abbandonare sarebbe stato bello poter puntare il dito contro δ4 che effettivamente compie un’asserzione molto impegnativa, obbligandoci ad avere una prima sorta almeno altrettanto numerosa quanto l’insieme dei reali. Del resto δ4 compie un’asserzione analoga a quella di γ5 nel sorite del primo tipo e quindi può essere oggetto dello stesso tipo di critica. Dovendo scegliere entro ∆ un assioma da abbandonare, indicheremmo quello che compie l’asserzione più impegnativa, per la sua natura dichiaratamente infinitaria e la difficoltà di assegnargli un contenuto empiricamente controllabile, vale a dire l’assioma del secondo ordine che stabilisce la completezza dell’ordine del gruppo e quindi garantisce la continuità delle grandezze coinvolte: nel paradosso del basso, le grandezze lineari.

  • 15  Il carattere del sorite come ragionamento «a poco a poco» era già stato individuato dalla filosofi (...)

47Dopo avere riconosciuto due tipi di sorite è naturale porsi il problema dei loro rapporti. Se si considerano gli enti coinvolti, ossia i modelli delle due teorie Γ e ∆, si può riconoscere che l’unico punto di contatto è costituito dai numeri naturali che appartengono alla seconda sorta di entrambe le strutture. Se si considerano i metodi usati nella dimostrazione della contraddizione, possiamo osservare che entrambi i tipi di sorite fanno uso del principio di induzione. Nel primo tipo ciò risulta chiaramente dall’assioma γ3, che stabilisce il passo induttivo che permette di estendere P verso le cardinalità superiori, mentre nel secondo tipo l’induzione si presenta sotto la forma del principio del minimo. Il più significativo punto di contatto tra i due tipi di sorite è costituito dall’induzione: è l’induzione che permette di realizzare quella catena che trasferisce gradualmente15 il predicato soritico da un caso in cui è evidentemente vero a uno in cui è evidentemente falso.

  • 16  Barnes 1982: 30.
  • 17  Sesto, M, IX, 182-4.
  • 18  Barnes 1982: 29.

48Il ruolo dei naturali e dell’induzione non sembra essere sempre apprezzato adeguatamente. Nell’articolo Medicine, experience and logic Barnes considera i naturali come semplici nomi per gli elementi di un insieme totalmente ordinato, senza riconoscere il loro ruolo di numeri cardinali16. Ciò è probabilmente dovuto alla volontà di fornire una forma generale di sorite che comprenda anche il famoso sorite di Carneade sugli dèi17 nel quale è impossibile rintracciare un passo induttivo uniforme dato che ogni elemento della catena soritica richiede una giustificazione di tipo differente; da parte nostra preferiamo rinunciare a classificare l’argomento di Carneade come un sorite, conservando ai naturali e all’induzione il loro ruolo essenziale nella giustificazione della catena soritica. Riducendo i naturali a semplici etichette, diventa difficile cogliere il ruolo dell’induzione: «The sorites is often connected with, and held to produce puzzles for, the complex inference pattern known as mathematical induction. That may be so; but if it is so, it is not because the sorites has the form of a mathematical induction. If the argument produces puzzles for any inference pattern, it produces puzzles for modus ponens; if the argument sheds doubt on any principles of logic, it sheds doubt on one of the most simple and fundamental of all logical principles»18. Principio di induzione e modus ponens sono considerati entrambi come “inference pattern”, cioè schemi inferenziali o regole d’inferenza, senza distinguere tra regole logiche e non logiche. Ciò crea qualche problema quando si cerca il responsabile di una contraddizione. La presenza di una contraddizione, se non si vuole mettere in discussione l’apparato logico, ci induce a negare almeno una delle premesse del nostro argomento, eventualmente anche il principio di induzione se questo figura tra i nostri assiomi. Se il principio di induzione si nasconde tra le regole, possiamo ancora metterlo in discussione, ma senza perdere di vista il fatto che ciò non altera il tipo di logica in cui si sviluppa il nostro discorso. La scelta, quindi, tra induzione e modus ponens come responsabili del paradosso non è la semplice scelta tra due “inference pattern”, ma tra due modi di uscire dal sorite e dai paradossi in generale: negando un’assunzione tra quelle coinvolte nella dimostrazione della contraddizione oppure modificando la logica. Nel primo caso l’origine della contraddizione è vista in un’assiomatizzazione errata, in una mancata corrispondenza tra gli enti e le parole che usiamo per descriverli, nel secondo caso la contraddizione è ascrivibile a un difetto argomentativo, a una logica scorretta.

  • 19  Aristotele, Phys. H 5, 250 a 19 I; Simplicio: 302.

49C’è infine un altro aspetto del sorite che accomuna i due tipi e riguarda non gli oggetti o i metodi dimostrativi dell’argomento, ma il significato intuitivo dell’operazione denotata da f che è alla base di entrambi gli argomenti. In entrambi i casi abbiamo a che fare con una misura e questo ci riporta alle parole di Galeno citate all’inizio e ci permette di aggiungere alcune riflessioni sul «sorite di Zenone». Presentiamo l’argomento, riportato da Aristotele nella Fisica, con la parole di Simplicio19: «“Dimmi, Protagora, un sol grano o la decimillesima parte di un grano fanno rumore cadendo?” Protagora rispose di no. “E un medimno di grani – disse – fa rumore cadendo o no?” Protagora rispose che il medimno faceva rumore. “E che, non c’è una proporzione fra un medimno di grani e un grano solo o la decimillesima parte di un grano solo?” Quegli rispose che c’è. “E che – disse Zenone – non ci sarà anche tra i suoni la stessa proporzione? Infatti la proporzione che c’è tra i corpi sonori ci deve anche essere tra i suoni. Se così è, dato che un medimno di grano fa rumore, farà rumore anche un sol grano e la decimillesima parte di un grano”».

  • 20  Moline 1969.
  • 21  A questo proposito si vedano: Mignucci 1993: 231; Sillitti 1977: 76; Barnes 1982: 37-39, dove vien (...)
  • 22  In un passo di poco successivo Aristotele illustra come il principio di proporzionalità venga meno (...)

50Tralasciando la questione controversa dell’obiettivo di questo argomento, ci limitiamo a esaminarne le carateristiche formali. Alcuni ritengono che l’argomento sia semplicemente un caso della fallacia della divisione, secondo la quale ogni parte di un tutto deve ereditare le sue proprietà20. Altri riconoscono che l’argomento è basato su un principio di proporzionalità21, dato che è lo stesso Aristotele a presentarlo come un’errata applicazione di tale principio22. È comunque concorde l’opinione che non si tratti di un sorite. Naturalmente tutto dipende dal significato che si dà alla parola “sorite”: se per sorite si intende un argomento assiomatizzabile mediante una delle teorie precedenti, allora ci sembra che nell’argomento di Zenone si possa individuare un sorite di secondo tipo, attraverso il quale la proprietà “non produce rumore” può essere estesa da oggetti sicuramente silenziosi a oggetti sicuramente rumorosi.

  • 23  Del resto nemmeno il sorite di Diogene Laerzio presenta un passo induttivo formulato in modo espli (...)

51Zenone presenta una prima sorta costituita da granelli, frazioni di granelli e mucchi di tali oggetti. Se indichiamo con g un singolo granello, il tipico oggetto della prima sorta sarà rappresentabile con (m/n)g. Zenone ci lascia liberi di scegliere la base del processo induttivo, l’oggetto che non produce rumore, sia esso il singolo chicco di grano o la sua decimillesima parte, ma non formula chiaramente un passo induttivo: non dice che se aggiungiamo un singolo chicco, o la sua decimillesima parte, a un mucchio che non fa rumore, otteniamo un nuovo mucchio altrettanto silenzioso23. D’altra parte ciò può essere ritenuto superfluo, se si ritiene che la base del processo induttivo coincida con la lunghezza del passo induttivo: se il singolo chicco non fa rumore, allora anche la sua aggiunta a un mucchio che non fa rumore non può trasformarlo in un mucchio rumoroso. La stessa situazione si presenta nel sorite di primo tipo, quando si stabilisce che gli insiemi di cardinalità 1 sono piccoli e che l’aggiunta di un insieme di cardinalità 1 non può trasformare un insieme piccolo in uno che non lo è. Inoltre Zenone ci lascia liberi di spostare a piacere verso il basso la scelta dall’oggetto che non produce rumore e questo rende plausibile che si possa individuare un oggetto che non solo non produca rumore, ma la cui aggiunta sia ininfluente sulla rumorosità.

52Veniamo ora alla misura f e agli oggetti della seconda sorta. Il paradosso nasce dalla proporzionalità tra oggetti della prima sorta e suoni prodotti. Se indichiamo con f((m/n)g) il suono prodotto da (m/n)g, la proporzionalità asserita da Zenone consiste nel porre f((m/n)g)=(m/n)f(g): è questa caratteristica di f ciò che la qualifica come misura. Si vede allora immediatamente che se esistesse una frazione di granello (1/n)g a cui corrispondesse il suono nullo f((1/n)g), o l’assenza di suono, lo stesso dovrebbe accadere per ogni oggetto (m/n)g della prima sorta: infatti f((m/n)g)=mf((1/n)g) e qualsiasi multiplo dell’assenza di suono è ancora un’assenza di suono. Zenone quindi usa i suoni, invece dei numeri reali, come misura della grandezza dei mucchi, cosa plausibile data la ben nota incapacità del mondo antico di produrre un concetto astratto di numero reale come misura della lunghezza e dell’area. D’altra parte il suono si presenta naturalmente come una grandezza continua, capace di rispecchiare ogni minima variazione in un dominio di oggetti di costituzione “granulosa” come i mucchi della prima sorta. Se siamo disposti ad accettare che il compito dei numeri reali sia assolto dal dominio dei suoni, senza per questo attribuire a Zenone la consapevolezza della differenza che separa un insieme divisibile all’infinito, cioè denso, da un insieme continuo, allora si potrebbe catalogare l’argomento di Zenone come un sorite di secondo tipo.

  • 24  Ringrazio l’anonimo referee per i numerosi commenti su una versione precedente di questo articolo.

53Possiamo concludere cercando di riassumere il significato di questo lavoro di formalizzazione. Considerando il sorite come una teoria formale, miriamo a chiarire di cosa parla il sorite: quali sono gli enti presupposti e quali le relazioni necessarie ad allestire un sorite. D’altra parte consideriamo il sorite come una teoria genuinamente contraddittoria e quindi pensiamo che si possa individuare negli assiomi della teoria formale la sorgente della contraddizione. Le due teorie inizialmente proposte, rispettivamente γ1,…,γ5 e δ1,…,δ4, permettono di individuare due assiomi che compiono asserzioni particolarmente impegnative: γ5 e δ4. In entrambi i casi viene asserita la suriettività della funzione che misura gli oggetti del dominio e questa sembra essere una condizione indispensabile per creare la catena di inferenze che conduce da un caso in cui la proprietà soritica è certamente goduta a un caso in cui certamente non lo è. Tuttavia questa analogia strutturale tra le due teorie scompare quando l’analisi si approfondisce e gli assiomi incriminati vengono rimpiazzati da altri che mirano a una caratterizzazione più chiara degli oggetti del dominio. La prima teoria si configura come una particolare teoria dei reticoli dotati di una funzione di misura e a questo punto l’assioma più impegnativo sembra essere i) che comporta l’esistenza di una infinità di oggetti. D’altra parte una conseguenza dell’assioma γ5 eliminato era proprio la possibilità di avere un mucchio in corrispondenza di ogni cardinalità finita e quindi infiniti mucchi. La seconda teoria prende invece l’aspetto di una teoria dei gruppi commutativi ordinati e completi, nella quale l’elemento critico è l’assioma di completezza che richiede la quantificazione su insiemi e quindi un linguaggio del secondo ordine. E anche qui l’assioma δ4 eliminato stabiliva che vi dovesse essere, per ogni numero reale positivo, un oggetto di tale altezza e quindi la disponibilità di un continuo. A questo punto sembra che la sorgente della contraddizione sia differente e in effetti le due teorie del sorite hanno imboccato strade diverse, essendo la prima legata a un dominio discreto e la seconda a un dominio continuo. L’illusione di poter ridurre l’una teoria all’altra è generata dal fatto che in entrambi i casi l’induzione sui naturali gioca un ruolo fondamentale nella dimostrazione della contraddizione24.

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Note

1  R.M. Sainsbury dà la seguente definizione di paradosso: «an apparently unacceptable conclusion derived by apparently acceptable reasoning from apparently acceptable premisses» (Sainsbury 1995: 1).

2  L’articolo si trova in Bochvar 1938. Un’esposizione della soluzione proposta da Bochvar si trova in Malinowski 1993: 54-56.

3  Kripke 1975.

4  Per una soluzione del paradosso basata sulla logica dei comparativi, si veda Paoli 2003; sul problema della vaghezza, si veda Beall 2003.

5  Si veda a questo proposito Grunbaum 1952.

6  Diogene Laerzio 2005: 82.

7  Goguen 1969: 328-330.

8  Black 1937 e 1963; Russell 1923.

9  Walzer 1947: 114.

10Ac, II \ xxix 92.

11  Un reticolo A è relativamente complementato se, presi comunque a e b in A tali che a≤b, il sottoreticolo di A costituito dall’intervallo [a,b] è complementato.

12  Balbes e Dwinger 1974: 66.

13Ivi: 55.

14  Per una dimostrazione di questo teorema, si veda Cercignani 1976: 24.

15  Il carattere del sorite come ragionamento «a poco a poco» era già stato individuato dalla filosofia antica. Si veda Burnyeat 1982: 318.

16  Barnes 1982: 30.

17  Sesto, M, IX, 182-4.

18  Barnes 1982: 29.

19  Aristotele, Phys. H 5, 250 a 19 I; Simplicio: 302.

20  Moline 1969.

21  A questo proposito si vedano: Mignucci 1993: 231; Sillitti 1977: 76; Barnes 1982: 37-39, dove viene riconosciuta la tradizionale associazione del paradosso del medimno di grano e della goccia d’acqua al sorite.

22  In un passo di poco successivo Aristotele illustra come il principio di proporzionalità venga meno quando si consideri il rapporto tra il numero degli uomini che trascinano una barca, lo spazio percorso e il tempo impiegato: dimezzando il numero degli uomini si può trascinare, nello stesso tempo, la barca per una distanza dimezzata, ma continuando a ridurre il numero degli uomini la distanza non si riduce sempre in proporzione, perché esiste un numero di uomini al di sotto del quale non si può scendere, se si vuole ottenere uno spostamento. Ph. VIII, 3, 253, b14-26.

23  Del resto nemmeno il sorite di Diogene Laerzio presenta un passo induttivo formulato in modo esplicito, anche se lo lascia intuire dalla presentazione dei primi passi della catena induttiva. Il passo induttivo è invece chiaramente espresso da Galeno il quale, dopo aver presentato i primi passi della catena induttiva mediante l’usuale serie di domande, asserisce: «E non conosco cosa peggiore e più assurda dell’ammettere che l’esistenza o la non esistenza di un mucchio sia determinata da un chicco di grano» (Walzer 1947: 115-16).

24  Ringrazio l’anonimo referee per i numerosi commenti su una versione precedente di questo articolo.

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Per citare questo articolo

Notizia bibliografica

Maurizio Negri, « Il sorite come teoria formale », Rivista di estetica, 44 | 2010, 221-238.

Notizia bibliografica digitale

Maurizio Negri, « Il sorite come teoria formale », Rivista di estetica [Online], 44 | 2010, online dal 30 novembre 2015, consultato il 27 luglio 2017. URL : http://estetica.revues.org/1682 ; DOI : 10.4000/estetica.1682

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